Chapter 5

สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล

Statistics and Data Analysis

ต่อจาก ม.3 ด้วยการวัดการกระจายที่ใช้ข้อมูลทุกตัว — ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่ามาตรฐาน และการเทียบข้อมูลต่างชุดที่หน่วยไม่เหมือนกัน

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: สถิติและความน่าจะเป็นรายวิชาพื้นฐาน ม.6
Common Core (US): S-ID
Cambridge: AS Level — Data presentation and interpretation

5.1 ทบทวนค่ากลางและตำแหน่งของข้อมูล

●
ค่ากลางสามตัวและเวลาที่ควรใช้
- ค่าเฉลี่ย — ใช้เมื่อข้อมูลสมมาตรและไม่มีค่าสุดโต่ง
- มัธยฐาน — ใช้เมื่อมีค่าสุดโต่ง เช่นข้อมูลรายได้
- ฐานนิยม — ใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพที่หาค่าเฉลี่ยไม่ได้
●
ค่าที่บอกตำแหน่งของข้อมูล
- ควอร์ไทล์แบ่งเป็น 4 ส่วน · เดไซล์แบ่งเป็น 10 ส่วน · เปอร์เซ็นไทล์แบ่งเป็น 100 ส่วน
- เปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 หมายถึงมีข้อมูลร้อยละ 75 ที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่านั้น

ข้อควรระวัง

คะแนนเปอร์เซ็นไทล์ที่ 90 ไม่ได้แปลว่าได้ 90 คะแนน · แปลว่าทำได้ดีกว่าคนอื่นร้อยละ 90 · สองอย่างนี้ต่างกันสิ้นเชิงและเป็นความเข้าใจผิดที่พบบ่อยเวลาอ่านผลสอบมาตรฐาน

5.2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - μ ) ^{2}}{N} σ = σ^{2}

สำหรับกลุ่มตัวอย่างใช้ $s^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ ซึ่งหารด้วย $n - 1$ ไม่ใช่ $n$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมต้องยกกำลังสองก่อนบวก? เพราะผลต่างจากค่าเฉลี่ยมีทั้งบวกและลบ ซึ่ง บวกกันแล้วได้ศูนย์เสมอ ทุกชุดข้อมูล · การยกกำลังสองทำให้ทุกตัวเป็นบวก จึงวัดการกระจายได้จริง · แล้วถอดรากกลับเพื่อให้หน่วยกลับมาเท่าข้อมูลเดิม

คำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

1หาค่าเฉลี่ยของข้อมูล
2หาผลต่างของแต่ละตัวจากค่าเฉลี่ย
3ยกกำลังสองผลต่างทุกตัวแล้วบวกกัน
4หารด้วยจำนวนข้อมูล (หรือ $n - 1$ สำหรับกลุ่มตัวอย่าง)
5ถอดรากที่สอง

ตัวอย่าง

ข้อมูลประชากร 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

วิธีทำ

1.ค่าเฉลี่ย $μ = \frac{40}{8} = 5$
2.ผลต่าง: $- 3, - 1, - 1, - 1, 0, 0, 2, 4$
3.ยกกำลังสองแล้วรวม: $9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$
4. $σ^{2} = \frac{32}{8} = 4$
5. $σ = 4$

ตอบ $σ = 2$

เคล็ดลับ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมี หน่วยเดียวกับข้อมูล แต่ความแปรปรวนมีหน่วยเป็นกำลังสอง · ถ้าข้อมูลเป็นเซนติเมตร $σ$ ก็เป็นเซนติเมตร แต่ $σ^{2}$ เป็นตารางเซนติเมตร ซึ่งตีความยาก จึงนิยมรายงาน $σ$

5.3 ค่ามาตรฐาน

ค่ามาตรฐาน

z = \frac{x - μ}{σ}

บอกว่าค่านั้นอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

●
อ่านค่า $z$ อย่างไร
- $z = 0$ คือเท่ากับค่าเฉลี่ยพอดี
- $z$ เป็นบวกคือสูงกว่าค่าเฉลี่ย · เป็นลบคือต่ำกว่า
- $z = 2$ คือสูงกว่าค่าเฉลี่ยสองเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งถือว่าโดดเด่น

ตัวอย่าง

วิชาคณิตได้ 75 คะแนน ค่าเฉลี่ย 65 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 · วิชาอังกฤษได้ 80 คะแนน ค่าเฉลี่ย 70 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 · วิชาใดทำได้ดีกว่าเมื่อเทียบกับเพื่อน

วิธีทำ

1.คณิต: $z = \frac{75 - 65}{5} = 2$
2.อังกฤษ: $z = \frac{80 - 70}{10} = 1$
3.แม้คะแนนดิบวิชาอังกฤษจะสูงกว่า แต่ $z$ ของคณิตสูงกว่า

ตอบ วิชาคณิตทำได้ดีกว่าเมื่อเทียบกับกลุ่ม

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ค่ามาตรฐานมีไว้เพื่อ เทียบข้ามชุดข้อมูลที่เทียบกันตรง ๆ ไม่ได้ · คะแนนดิบต่างวิชาเทียบกันไม่ได้เพราะความยากและการกระจายต่างกัน · $z$ ลบทั้งสองอย่างออกไป เหลือแต่ตำแหน่งสัมพัทธ์ในกลุ่ม

5.4 การเปรียบเทียบข้อมูลหลายชุด

สัมประสิทธิ์การแปรผัน

C V = \frac{σ}{μ} \times 100%

ใช้เทียบการกระจายของข้อมูลที่หน่วยหรือขนาดต่างกันมาก

ตัวอย่าง

น้ำหนักช้างมีค่าเฉลี่ย 3,000 กก. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 300 กก. · น้ำหนักแมวมีค่าเฉลี่ย 4 กก. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8 กก. · ข้อมูลชุดใดกระจายมากกว่าเมื่อเทียบตามสัดส่วน

วิธีทำ

1.ช้าง: $C V = \frac{300}{3000} \times 100 = 10%$
2.แมว: $C V = \frac{0.8}{4} \times 100 = 20%$
3. $σ$ ของช้างสูงกว่ามาก แต่เทียบตามสัดส่วนแล้วน้อยกว่า

ตอบ น้ำหนักแมวกระจายมากกว่าเมื่อเทียบตามสัดส่วน

เคล็ดลับ

เทียบ $σ$ ตรง ๆ ได้เฉพาะเมื่อ หน่วยเดียวกันและขนาดใกล้เคียงกัน · ถ้าไม่ใช่ ต้องใช้ $C V$ · เป็นจุดที่โจทย์ชอบหลอกด้วยตัวเลข $σ$ ที่ดูใหญ่แต่ไม่ได้แปลว่ากระจายกว่า

🎯 Key takeaways

เปอร์เซ็นไทล์บอกตำแหน่งในกลุ่ม ไม่ใช่คะแนนที่ได้
ยกกำลังสองก่อนบวกเพราะผลต่างจากค่าเฉลี่ยบวกกันได้ศูนย์เสมอ
กลุ่มตัวอย่างหารด้วย $n - 1$ ส่วนประชากรหารด้วย $N$
$z = \frac{x - μ}{σ}$ ใช้เทียบข้ามชุดข้อมูลที่เทียบกันตรง ๆ ไม่ได้
เทียบการกระจายข้ามหน่วยต้องใช้สัมประสิทธิ์การแปรผัน ไม่ใช่ $σ$ ตรง ๆ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena