Chapter 6

การแจกแจงปกติ

The Normal Distribution

รูปแบบการกระจายที่พบซ้ำแล้วซ้ำเล่าในธรรมชาติ — โค้งระฆังคว่ำ พร้อมกฎที่ทำให้ประมาณสัดส่วนของข้อมูลได้จากค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพียงสองตัว

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: สถิติและความน่าจะเป็นรายวิชาพื้นฐาน ม.6
Common Core (US): S-ID, S-IC
Cambridge: AS Level — The normal distribution

6.1 ลักษณะของโค้งปกติ

●
สมบัติของโค้งปกติ
- สมมาตรรอบค่าเฉลี่ย
- ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม อยู่ที่จุดเดียวกัน
- พื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดเท่ากับ 1
- ปลายทั้งสองข้างเข้าใกล้แกนนอนแต่ไม่แตะ
- รูปร่างกำหนดด้วยตัวเลขสองตัวเท่านั้นคือ $μ$ และ $σ$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมโค้งปกติจึงพบบ่อยมาก? เพราะปริมาณที่เกิดจาก ปัจจัยเล็ก ๆ จำนวนมากรวมกัน มักกระจายแบบนี้เสมอ · ความสูงของคนเกิดจากยีนหลายพันตัวบวกกับโภชนาการ ผลรวมจึงออกมาเป็นระฆังคว่ำ ไม่ใช่เพราะบังเอิญ

ข้อควรระวัง

ไม่ใช่ทุกอย่างที่แจกแจงปกติ · รายได้เบ้ขวาอย่างชัดเจน · จำนวนครั้งของเหตุการณ์หายากไม่ใช่โค้งปกติ · ใช้สูตรของการแจกแจงปกติกับข้อมูลที่ไม่ได้เป็นแบบนั้น คือคำตอบที่ดูน่าเชื่อแต่ผิด

6.2 กฎ 68-95-99.7

ช่วง	สัดส่วนโดยประมาณ
$μ \pm 1 σ$	ร้อยละ 68
$μ \pm 2 σ$	ร้อยละ 95
$μ \pm 3 σ$	ร้อยละ 99.7

สัดส่วนของข้อมูลในแต่ละช่วง

ตัวอย่าง 1

คะแนนสอบแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 70 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 · มีนักเรียนประมาณกี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้ระหว่าง 54 ถึง 86 คะแนน

วิธีทำ

1. $54 = 70 - 16 = μ - 2 σ$
2. $86 = 70 + 16 = μ + 2 σ$
3.ช่วงนี้คือ $μ \pm 2 σ$ พอดี

ตอบ ประมาณร้อยละ 95

ตัวอย่าง 2

จากข้อมูลชุดเดิม มีนักเรียนประมาณกี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้เกิน 78 คะแนน

วิธีทำ

1. $78 = μ + 1 σ$
2.ช่วง $μ \pm 1 σ$ ครอบคลุมร้อยละ 68 จึงเหลือนอกช่วง $100 - 68 = 32$
3.โค้งสมมาตร จึงแบ่งครึ่งไปข้างละ 16

ตอบ ประมาณร้อยละ 16

เคล็ดลับ

วาดโค้งระฆังแล้วเขียนตัวเลขลงไปทุกครั้ง · โจทย์การแจกแจงปกติเกือบทั้งหมดแก้ได้ด้วยการ แบ่งพื้นที่ใต้โค้งแล้วบวกลบ ไม่ต้องมีสูตรพิเศษเพิ่ม

6.3 การแจกแจงปกติมาตรฐาน

นิยาม

การแจกแจงปกติมาตรฐาน

การแจกแจงปกติที่มี $μ = 0$ และ $σ = 1$ · ใช้เป็นมาตรฐานกลาง เพราะการแจกแจงปกติทุกแบบแปลงมาอยู่ในรูปนี้ได้ด้วยค่า $z$

หาความน่าจะเป็นจากตาราง $z$

1แปลงค่าที่โจทย์ให้เป็นค่า $z$ ด้วย $z = \frac{x - μ}{σ}$
2วาดโค้งแล้วระบายพื้นที่ที่ต้องการ
3เปิดตารางหาพื้นที่สะสมของค่า $z$ นั้น
4บวกหรือลบพื้นที่ให้ตรงกับส่วนที่ระบายไว้

ตัวอย่าง

น้ำหนักสินค้าแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 กรัม ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 กรัม จงหาสัดส่วนของสินค้าที่หนักน้อยกว่า 530 กรัม

วิธีทำ

1. $z = \frac{530 - 500}{20} = 1.5$
2.พื้นที่สะสมถึง $z = 1.5$ จากตารางคือประมาณ $0.9332$

ตอบ ประมาณร้อยละ 93.3

ข้อควรระวัง

ตาราง $z$ ส่วนใหญ่ให้ พื้นที่สะสมจากซ้ายสุดมาถึงจุดนั้น · ถ้าโจทย์ถามพื้นที่ทางขวา ต้องเอา 1 ลบ · อ่านหัวตารางให้ชัดก่อนใช้ เพราะตารางบางเล่มนิยามต่างออกไป

6.4 การนำไปใช้

●
ที่ที่การแจกแจงปกติถูกใช้จริง
- การควบคุมคุณภาพ — ตั้งขีดจำกัดที่ $μ \pm 3 σ$ แล้วถือว่าเกินนั้นคือผิดปกติ
- การให้เกรดอิงกลุ่ม — แปลงคะแนนดิบเป็น $z$ ก่อนตัดเกรด
- การแพทย์ — ค่าอ้างอิงของผลตรวจเลือดมักกำหนดจากช่วงกลางร้อยละ 95 ของคนปกติ

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ค่าอ้างอิงทางการแพทย์ที่ครอบคลุมร้อยละ 95 แปลว่า คนปกติสมบูรณ์ราวร้อยละ 5 จะมีผลอยู่นอกช่วง โดยที่ไม่ได้ป่วย · นี่คือเหตุผลที่แพทย์ไม่วินิจฉัยจากผลเลือดค่าเดียว และเป็นตัวอย่างที่ชัดที่สุดว่าสถิติต้องอ่านเป็น ไม่ใช่แค่คำนวณเป็น

ตัวอย่าง

โรงงานผลิตหลอดไฟที่มีอายุการใช้งานแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 1,200 ชั่วโมง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 100 ชั่วโมง · ถ้ารับประกันคืนเงินเมื่อใช้ได้ไม่ถึง 1,000 ชั่วโมง จะต้องคืนเงินประมาณกี่เปอร์เซ็นต์

วิธีทำ

1. $z = \frac{1000 - 1200}{100} = - 2$
2.ช่วง $μ \pm 2 σ$ ครอบคลุมร้อยละ 95 เหลือนอกช่วง 5
3.แบ่งครึ่งไปข้างซ้าย

ตอบ ประมาณร้อยละ 2.5

🎯 Key takeaways

โค้งปกติสมมาตร มีค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมที่จุดเดียวกัน และพื้นที่ใต้โค้งเท่ากับ 1
กฎ 68-95-99.7 ใช้ประมาณสัดส่วนได้โดยไม่ต้องเปิดตาราง
ค่า $z$ แปลงการแจกแจงปกติทุกแบบให้เป็นแบบมาตรฐานเดียวกัน
ตาราง $z$ ส่วนใหญ่ให้พื้นที่สะสมจากซ้าย ถ้าถามทางขวาต้องเอา 1 ลบ
ไม่ใช่ข้อมูลทุกชุดที่แจกแจงปกติ — ต้องตรวจก่อนใช้สูตร

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena