Chapter 4

ปริพันธ์

Integration

การดำเนินการย้อนกลับของอนุพันธ์ และเครื่องมือหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง — สองเรื่องนี้เป็นเรื่องเดียวกัน ซึ่งเป็นข้อค้นพบที่ทำให้แคลคูลัสสมบูรณ์

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.6
Common Core (US): —
Cambridge: A Level — Integration

4.1 ปฏิยานุพันธ์และปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

กฎกำลังสำหรับปริพันธ์

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1) \int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

เพิ่มกำลังหนึ่ง แล้วหารด้วยกำลังใหม่ — ตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ทุกขั้น

ข้อควรระวัง

ค่าคงตัว $C$ ห้ามลืม ในปริพันธ์ไม่จำกัดเขต · เพราะฟังก์ชันที่ต่างกันแค่ค่าคงตัวมีอนุพันธ์เท่ากันหมด · การละ $C$ คือการตอบแค่หนึ่งในคำตอบที่มีอยู่นับไม่ถ้วน

ตัวอย่าง

จงหา $\int (6 x^{2} - 4 x + 3) d x$

วิธีทำ

1. $\int 6 x^{2} d x = 6 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = 2 x^{3}$
2. $\int - 4 x d x = - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} = - 2 x^{2}$
3. $\int 3 d x = 3 x$

ตอบ $2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

เคล็ดลับ

ตรวจคำตอบด้วยการ หาอนุพันธ์กลับ ทุกครั้ง · ถ้าอนุพันธ์ของคำตอบไม่ตรงกับสิ่งที่อยู่ในเครื่องหมายปริพันธ์ แสดงว่าผิด · เป็นการตรวจที่แน่นอน 100% และเร็วมาก

4.2 ปริพันธ์จำกัดเขต

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) เมื่อ F^{'} = f

ไม่ต้องใส่ $C$ เพราะมันหักล้างกันเองในการลบ

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทฤษฎีบทนี้คือหัวใจของแคลคูลัสทั้งวิชา — มันบอกว่า การหาพื้นที่ กับการย้อนกลับของอนุพันธ์ เป็นเรื่องเดียวกัน ทั้งที่ฟังดูไม่เกี่ยวกันเลย · ก่อนหน้านั้นการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งต้องใช้วิธีซอยเป็นชิ้นเล็ก ๆ ทีละโจทย์

ตัวอย่าง

จงหา $\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x$

วิธีทำ

1.หาปฏิยานุพันธ์: $F (x) = x^{2} + x$
2. $F (3) = 9 + 3 = 12$
3. $F (1) = 1 + 1 = 2$
4. $12 - 2$

ตอบ $10$

ข้อควรระวัง

ปริพันธ์จำกัดเขตให้ผลเป็น จำนวน ไม่ใช่ฟังก์ชัน · ถ้าคำตอบยังมี $x$ อยู่ แสดงว่าลืมแทนขอบเขต · และห้ามใส่ $+ C$ ในคำตอบ

4.3 การหาพื้นที่

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับแกน $x$

A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x

ต้องใช้ค่าสัมบูรณ์ เพราะส่วนที่อยู่ใต้แกน $x$ ให้ปริพันธ์เป็นลบ

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x เมื่อ f \geq g บนช่วงนั้น

เอาเส้นบนลบเส้นล่างเสมอ · ต้องหาจุดตัดก่อนเพื่อรู้ขอบเขต

ตัวอย่าง

จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วย $y = x^{2}$ และ $y = x + 2$

วิธีทำ

1.หาจุดตัด: $x^{2} = x + 2$ จึง $x^{2} - x - 2 = 0$ ได้ $x = - 1$ และ $x = 2$
2.ในช่วงนี้เส้นตรงอยู่บน จึงเอาเส้นตรงลบพาราโบลา
3. $A = \int_{- 1}^{2} ((x + 2) - x^{2}) d x$
4.ปฏิยานุพันธ์: $\frac{x ^{2}}{2} + 2 x - \frac{x ^{3}}{3}$
5.แทนขอบเขต: $(2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})$

ตอบ $\frac{9}{2}$ ตารางหน่วย

ข้อควรระวัง

ถ้าเส้นโค้งสองเส้นสลับกันไปมา (บางช่วงเส้นหนึ่งอยู่บน บางช่วงอีกเส้นอยู่บน) ต้อง แบ่งช่วงคำนวณแยกกัน · คิดรวดเดียวจะได้พื้นที่หักล้างกันและตอบน้อยกว่าความจริง

4.4 การนำปริพันธ์ไปใช้

●
ปริพันธ์ตอบคำถามแบบ “สะสมรวมทั้งหมดเท่าไร”
- ปริพันธ์ของความเร็วเทียบเวลา ได้ระยะทางที่เคลื่อนที่
- ปริพันธ์ของอัตราการไหล ได้ปริมาตรน้ำที่ไหลผ่านทั้งหมด
- ปริพันธ์ของอัตราการเพิ่มประชากร ได้จำนวนที่เพิ่มขึ้นในช่วงเวลานั้น

ตัวอย่าง

รถเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $v (t) = 3 t^{2} + 2 t$ เมตรต่อวินาที จงหาระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ในช่วงวินาทีที่ 0 ถึง 4

วิธีทำ

1.ระยะทางคือปริพันธ์ของความเร็ว
2. $\int_{0}^{4} (3 t^{2} + 2 t) d t$
3.ปฏิยานุพันธ์: $t^{3} + t^{2}$
4. $(64 + 16) - (0 + 0)$

ตอบ $80$ เมตร

เคล็ดลับ

จำความสัมพันธ์เป็นวงจร: อนุพันธ์เดินจากสะสมไปหาอัตรา · ปริพันธ์เดินจากอัตรากลับไปหาสะสม · ตำแหน่งไปความเร็วใช้อนุพันธ์ ความเร็วกลับไปตำแหน่งใช้ปริพันธ์

🎯 Key takeaways

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ — เพิ่มกำลังแล้วหาร ตรงข้ามกับอนุพันธ์
ห้ามลืม $+ C$ ในปริพันธ์ไม่จำกัดเขต และห้ามใส่ในปริพันธ์จำกัดเขต
ทฤษฎีบทหลักมูล: $\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)$ — พื้นที่กับปฏิยานุพันธ์เป็นเรื่องเดียวกัน
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งคือเส้นบนลบเส้นล่าง และต้องแบ่งช่วงถ้าสลับกัน
ตรวจคำตอบด้วยการหาอนุพันธ์กลับเสมอ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena