Chapter 7

การวิเคราะห์ข้อมูลสองตัวแปร

Bivariate Data Analysis

เมื่อข้อมูลมาเป็นคู่ — แผนภาพการกระจาย สหสัมพันธ์ และเส้นถดถอยที่ใช้พยากรณ์ พร้อมข้อจำกัดที่ต้องรู้ก่อนเชื่อคำพยากรณ์นั้น

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: สถิติและความน่าจะเป็นรายวิชาพื้นฐาน ม.6
Common Core (US): S-ID
Cambridge: AS Level — Correlation and regression

7.1 แผนภาพการกระจาย

ข้อมูลสองตัวแปรคือข้อมูลที่วัดสองอย่างจากหน่วยเดียวกัน เช่นส่วนสูงกับน้ำหนักของคนคนเดียว · เครื่องมือแรกที่ต้องใช้เสมอคือ วาดแผนภาพก่อนคำนวณอะไรทั้งสิ้น

●
สิ่งที่ดูจากแผนภาพการกระจาย
- ทิศทาง — ขึ้นหรือลง
- รูปแบบ — เป็นเส้นตรงหรือโค้ง
- ความแรง — จุดเกาะกลุ่มแน่นหรือกระจัดกระจาย
- ค่าผิดปกติ — จุดที่หลุดออกจากกลุ่มอย่างชัดเจน

ข้อควรระวัง

ต้องวาดแผนภาพก่อนคำนวณสหสัมพันธ์ทุกครั้ง · ข้อมูลที่มีความสัมพันธ์แบบโค้งชัดเจนอาจให้ค่าสหสัมพันธ์ใกล้ศูนย์ ทำให้สรุปผิดว่า “ไม่เกี่ยวกัน” ทั้งที่เกี่ยวกันอย่างมาก

7.2 สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

นิยาม

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ $r$

ตัวเลขระหว่าง $- 1$ ถึง $1$ ที่วัดความแรงและทิศทางของความสัมพันธ์ เชิงเส้น ระหว่างสองตัวแปร

ค่า $r$	ความหมาย
ใกล้ $1$	สัมพันธ์เชิงเส้นทางบวกอย่างแรง
ใกล้ $- 1$	สัมพันธ์เชิงเส้นทางลบอย่างแรง
ใกล้ $0$	ไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น
$r^{2}$	สัดส่วนความผันแปรของ $y$ ที่อธิบายได้ด้วย $x$

อ่านค่า

r

ข้อควรระวัง

$r$ วัดเฉพาะความสัมพันธ์ เชิงเส้น เท่านั้น · $r$ ใกล้ศูนย์แปลว่า “ไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น” ไม่ได้แปลว่า “ไม่มีความสัมพันธ์” · ความต่างนี้สำคัญมากและถูกละเลยเป็นประจำ

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

และย้ำอีกครั้งจาก ม.3 — สหสัมพันธ์ไม่ใช่การเป็นเหตุเป็นผล · $r$ สูงอธิบายได้อย่างน้อยสี่แบบ: $x$ ทำให้เกิด $y$ · $y$ ทำให้เกิด $x$ · มีตัวแปรที่สามทำให้เกิดทั้งคู่ · หรือบังเอิญ · ตัวเลข $r$ อย่างเดียวแยกสี่กรณีนี้ไม่ได้เลย

7.3 เส้นถดถอยเชิงเส้น

เส้นถดถอย

\overset{y}{^} = a + b x

$b$ คือความชัน บอกว่า $x$ เพิ่มหนึ่งหน่วยแล้ว $y$ เปลี่ยนไปเท่าไรโดยเฉลี่ย · $a$ คือค่าที่ $x = 0$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

เส้นถดถอยคือเส้นที่ทำให้ ผลรวมของกำลังสองของระยะในแนวตั้งจากจุดถึงเส้นน้อยที่สุด · ยกกำลังสองด้วยเหตุผลเดียวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือกันไม่ให้ค่าบวกกับค่าลบหักล้างกัน

ตัวอย่าง

จากข้อมูลชั่วโมงอ่านหนังสือกับคะแนนสอบ ได้เส้นถดถอย $\overset{y}{^} = 45 + 6 x$ จงตีความและพยากรณ์คะแนนของคนที่อ่าน 5 ชั่วโมง

วิธีทำ

1. $b = 6$ แปลว่าอ่านเพิ่มหนึ่งชั่วโมง คะแนนเพิ่มโดยเฉลี่ย 6 คะแนน
2. $a = 45$ คือคะแนนที่คาดเมื่อไม่อ่านเลย
3. $\overset{y}{^} = 45 + 6 (5) = 75$

ตอบ พยากรณ์ได้ประมาณ 75 คะแนน

ข้อควรระวัง

ห้ามพยากรณ์นอกช่วงของข้อมูลที่เก็บมา · ถ้าข้อมูลมีแค่ 0 ถึง 8 ชั่วโมง การแทน $x = 30$ ให้คะแนน 225 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ · เรียกว่าการคาดคะเนเกินช่วง และเป็นข้อผิดพลาดที่ร้ายแรงที่สุดของบทนี้

7.4 การอ่านสถิติอย่างรู้เท่าทัน

คำถามห้าข้อที่ต้องถามทุกครั้งที่เห็นตัวเลขสถิติ

1ข้อมูลนี้เก็บจากใคร และเป็นตัวแทนของใคร
2ขนาดตัวอย่างเท่าไร และเลือกมาอย่างไร
3ใครเป็นคนเก็บและได้ประโยชน์จากผลลัพธ์นี้หรือไม่
4มีการนำเสนอที่ทำให้เข้าใจผิดหรือไม่ เช่นแกนที่ไม่เริ่มจากศูนย์
5ข้อสรุปนี้เป็นความสัมพันธ์ หรืออ้างว่าเป็นเหตุเป็นผล

ตัวอย่าง

ผลสำรวจพบว่าคนที่ดื่มกาแฟวันละ 3 แก้วขึ้นไปมีอายุยืนกว่าคนที่ไม่ดื่ม · สรุปได้หรือไม่ว่ากาแฟทำให้อายุยืน

วิธีทำ

1.เป็นข้อมูลจากการสังเกต ไม่ใช่การทดลองที่สุ่มจัดกลุ่ม
2.อาจมีตัวแปรแฝง เช่น คนที่ดื่มกาแฟได้มากอาจสุขภาพดีอยู่แล้ว หรือมีรายได้และการเข้าถึงการแพทย์ที่ดีกว่า
3.ความสัมพันธ์อาจกลับทางได้ด้วย คือสุขภาพดีจึงดื่มกาแฟได้

ตอบ สรุปไม่ได้ · ข้อมูลนี้แสดงความสัมพันธ์เท่านั้น ไม่ได้แสดงว่าเป็นเหตุเป็นผล

เคล็ดลับ

สิ่งที่มีค่าที่สุดที่เหลืออยู่กับเราหลังจบ ม.6 อาจไม่ใช่สูตร แต่เป็น นิสัยการถามว่าตัวเลขนี้มาจากไหน · ทั้งข่าว โฆษณา และงานวิจัย ล้วนใช้สถิติ และคนที่อ่านเป็นจะไม่ถูกตัวเลขพาไปผิดทาง

🎯 Key takeaways

วาดแผนภาพการกระจายก่อนคำนวณสหสัมพันธ์เสมอ
$r$ อยู่ระหว่าง $- 1$ ถึง $1$ และวัดเฉพาะความสัมพันธ์เชิงเส้น
สหสัมพันธ์ไม่ใช่การเป็นเหตุเป็นผล — $r$ สูงอธิบายได้อย่างน้อยสี่แบบ
เส้นถดถอยใช้พยากรณ์ได้เฉพาะในช่วงของข้อมูลที่เก็บมาจริง
ถามเสมอว่าข้อมูลมาจากไหน ใครเก็บ และนำเสนออย่างตรงไปตรงมาหรือไม่

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena