Chapter 3

การประยุกต์ของอนุพันธ์

Applications of Derivatives

ใช้อนุพันธ์หาค่าสูงสุดและต่ำสุด เขียนกราฟจากพฤติกรรมของฟังก์ชัน และแก้โจทย์อัตราสัมพัทธ์ที่ปริมาณสองอย่างเปลี่ยนไปพร้อมกัน

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.6
Common Core (US): —
Cambridge: A Level — Applications of differentiation

3.1 ค่าวิกฤตและค่าสุดขีด

นิยาม

ค่าวิกฤต (Critical value)

ค่า $x$ ที่ทำให้ $f^{'} (x) = 0$ หรือ $f^{'} (x)$ หาค่าไม่ได้ · ค่าสุดขีดเกิดได้เฉพาะที่ค่าวิกฤตเท่านั้น

หาค่าสูงสุดและต่ำสุดสัมพัทธ์

1หา $f^{'} (x)$ แล้วแก้ $f^{'} (x) = 0$
2วางค่าวิกฤตบนเส้นจำนวน แล้วทดสอบเครื่องหมายของ $f^{'}$ ในแต่ละช่วง
3เครื่องหมายเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ → ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
4เครื่องหมายเปลี่ยนจากลบเป็นบวก → ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
5เครื่องหมายไม่เปลี่ยน → ไม่ใช่ค่าสุดขีด

การทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง

f^{'} (c) = 0 และ f^{''} (c) > 0 \Rightarrow ต่ำสุด f^{''} (c) < 0 \Rightarrow สูงสุด

ถ้า $f^{''} (c) = 0$ การทดสอบนี้ไม่ให้คำตอบ ต้องกลับไปใช้การทดสอบเครื่องหมายของ $f^{'}$

ตัวอย่าง

จงหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$

วิธีทำ

1. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x - 3) (x + 1)$
2.ค่าวิกฤต: $x = 3$ และ $x = - 1$
3. $f^{''} (x) = 6 x - 6$
4. $f^{''} (- 1) = - 12 < 0$ จึงเป็นค่าสูงสุด · $f (- 1) = 10$
5. $f^{''} (3) = 12 > 0$ จึงเป็นค่าต่ำสุด · $f (3) = - 22$

ตอบ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ $10$ ที่ $x = - 1$ · ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ $- 22$ ที่ $x = 3$

ข้อควรระวัง

$f^{'} (c) = 0$ ไม่ได้แปลว่าเป็นค่าสุดขีดเสมอ · $f (x) = x^{3}$ มี $f^{'} (0) = 0$ แต่กราฟผ่านไปเฉย ๆ ไม่ได้สูงสุดหรือต่ำสุด · ต้องตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายจริงเสมอ

3.2 โจทย์ค่าเหมาะที่สุด

วิธีทำโจทย์หาค่ามากที่สุดหรือน้อยที่สุด

1วาดรูปและตั้งชื่อตัวแปรพร้อมหน่วย
2เขียนสมการของสิ่งที่ต้องการหาค่าสุดขีด เรียกว่าฟังก์ชันเป้าหมาย
3ใช้เงื่อนไขในโจทย์กำจัดตัวแปรจนเหลือตัวแปรเดียว
4หาอนุพันธ์ แล้วแก้ให้เท่ากับศูนย์
5ตรวจว่าเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดจริง แล้วตอบให้ตรงกับสิ่งที่โจทย์ถาม

ตัวอย่าง

มีรั้วยาว 100 เมตร ล้อมพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยด้านหนึ่งติดกำแพงจึงไม่ต้องกั้น จงหาพื้นที่มากที่สุด

วิธีทำ

1.ให้ด้านที่ขนานกำแพงยาว $y$ และอีกสองด้านยาว $x$
2.รั้วที่ใช้: $2 x + y = 100$ จึง $y = 100 - 2 x$
3.พื้นที่ $A = x y = x (100 - 2 x) = 100 x - 2 x^{2}$
4. $A^{'} = 100 - 4 x = 0$ จึง $x = 25$
5. $A^{''} = - 4 < 0$ ยืนยันว่าเป็นค่าสูงสุด
6. $y = 100 - 50 = 50$ และ $A = 25 \times 50$

ตอบ พื้นที่มากที่สุด $1, 250$ ตารางเมตร

เคล็ดลับ

ขั้นที่ยากที่สุดไม่ใช่การหาอนุพันธ์ แต่คือ การเขียนฟังก์ชันเป้าหมายให้เหลือตัวแปรเดียว · ถ้ายังมีสองตัวแปร แปลว่ายังใช้เงื่อนไขในโจทย์ไม่ครบ ให้กลับไปอ่านโจทย์อีกรอบ

3.3 การเขียนกราฟด้วยอนุพันธ์

$f^{'}$	$f^{''}$	รูปร่าง
บวก	บวก	เพิ่มและเว้าขึ้น — โค้งชันขึ้นเรื่อย ๆ
บวก	ลบ	เพิ่มและเว้าลง — โค้งขึ้นแบบชะลอตัว
ลบ	บวก	ลดและเว้าขึ้น — ลดลงแบบชะลอตัว
ลบ	ลบ	ลดและเว้าลง — ดิ่งลงเรื่อย ๆ

อ่านรูปร่างกราฟจากเครื่องหมาย

นิยาม

จุดเปลี่ยนเว้า (Inflection point)

จุดที่ความเว้าเปลี่ยนทิศ · เกิดที่ $f^{''} = 0$ และ เครื่องหมายของ $f^{''}$ เปลี่ยนจริง

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

การเว้ามีความหมายในชีวิตจริง — ยอดผู้ป่วยที่ยังเพิ่มขึ้นแต่ เว้าลง แปลว่าเพิ่มช้าลงแล้ว · ข่าวเรียกจุดนั้นว่า “จุดเปลี่ยน” ซึ่งก็คือจุดเปลี่ยนเว้าทางคณิตศาสตร์พอดี

🎯 Key takeaways

ค่าสุดขีดเกิดได้เฉพาะที่ค่าวิกฤต แต่ค่าวิกฤตไม่จำเป็นต้องเป็นค่าสุดขีด
$f^{''} > 0$ เว้าขึ้นคือต่ำสุด · $f^{''} < 0$ เว้าลงคือสูงสุด · $f^{''} = 0$ ต้องตรวจด้วยวิธีอื่น
โจทย์ค่าเหมาะที่สุด: ขั้นยากคือทำให้ฟังก์ชันเป้าหมายเหลือตัวแปรเดียว
จุดเปลี่ยนเว้าต้องมี $f^{''} = 0$ และเครื่องหมายเปลี่ยนจริง
อัตราสัมพัทธ์: หาอนุพันธ์ก่อน แล้วค่อยแทนค่าตัวเลข

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena

3.1 ค่าวิกฤตและค่าสุดขีด

3.2 โจทย์ค่าเหมาะที่สุด

3.3 การเขียนกราฟด้วยอนุพันธ์

3.4 อัตราสัมพัทธ์

🎯 Key takeaways