Chapter 2

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

Derivatives

อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง — ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดหนึ่ง ซึ่งเปลี่ยนคำถามเรื่องการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดให้คำนวณได้

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.6
Common Core (US): —
Cambridge: A Level — Differentiation

2.1 นิยามของอนุพันธ์

นิยามด้วยลิมิต

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

เศษคือการเปลี่ยนแปลงของ $y$ · ส่วนคือการเปลี่ยนแปลงของ $x$ · ทั้งก้อนจึงคือความชัน

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ความชันของเส้นตรงหาได้ง่ายเพราะคงที่ · แต่เส้นโค้งมีความชันต่างกันทุกจุด · วิธีแก้คือเอาสองจุดบนเส้นโค้งมาหาความชันของเส้นตัด แล้ว เลื่อนสองจุดให้ชิดกันจนแทบเป็นจุดเดียว ซึ่งก็คือการให้ $h \to 0$ พอดี

ตัวอย่าง

จงหา $f^{'} (x)$ ของ $f (x) = x^{2}$ จากนิยาม

วิธีทำ

1. $f (x + h) = (x + h)^{2} = x^{2} + 2 x h + h^{2}$
2. $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = \frac{2 x h + h ^{2}}{h}$
3. $= 2 x + h$ เมื่อ $h \neq = 0$
4. $lim_{h \to 0} (2 x + h) = 2 x$

ตอบ $f^{'} (x) = 2 x$

2.2 กฎการหาอนุพันธ์

กฎพื้นฐาน

\frac{d}{d x} (x^{n}) = n x^{n - 1} \frac{d}{d x} (c) = 0 \frac{d}{d x} (c f (x)) = c f^{'} (x)

กฎกำลังใช้ได้กับ $n$ ทุกจำนวนจริง รวมทั้งเศษส่วนและจำนวนลบ

ผลคูณ ผลหาร และลูกโซ่

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'} (\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}} (f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

ข้อควรระวัง

อนุพันธ์ของผลคูณ ไม่ใช่ ผลคูณของอนุพันธ์ · ตรวจได้เร็วด้วย $f = g = x$ · $(x \cdot x)^{'} = (x^{2})^{'} = 2 x$ แต่ $f^{'} g^{'} = 1 \times 1 = 1$ ซึ่งไม่เท่ากัน

ตัวอย่าง 1

จงหาอนุพันธ์ของ $y = (3 x^{2} + 1)^{5}$

วิธีทำ

1.เป็นฟังก์ชันประกอบ จึงใช้กฎลูกโซ่
2.อนุพันธ์ของเปลือกนอก: $5 (3 x^{2} + 1)^{4}$
3.คูณด้วยอนุพันธ์ของข้างใน: $6 x$

ตอบ $30 x (3 x^{2} + 1)^{4}$

ตัวอย่าง 2

จงหาอนุพันธ์ของ $y = x^{3} sin x$

วิธีทำ

1.ใช้กฎผลคูณ โดย $f = x^{3}$ และ $g = sin x$
2. $f^{'} = 3 x^{2}$ และ $g^{'} = cos x$
3. $y^{'} = 3 x^{2} sin x + x^{3} cos x$

ตอบ $3 x^{2} sin x + x^{3} cos x$

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$e^{x}$	$e^{x}$
$ln x$	$\frac{1}{x}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่พบบ่อย

เคล็ดลับ

ลืมกฎลูกโซ่คือความผิดพลาดอันดับหนึ่งของบทนี้ · ทุกครั้งที่เห็น “ฟังก์ชันซ้อนอยู่ในฟังก์ชัน” ให้ถามว่า คูณอนุพันธ์ของข้างในแล้วหรือยัง

2.3 อนุพันธ์อันดับสูงและความหมาย

●
ความหมายในบริบทการเคลื่อนที่
- $s (t)$ คือตำแหน่ง
- $s^{'} (t) = v (t)$ คือความเร็ว — อัตราการเปลี่ยนตำแหน่ง
- $s^{''} (t) = a (t)$ คือความเร่ง — อัตราการเปลี่ยนความเร็ว
●
ความหมายบนกราฟ
- $f^{'} > 0$ ฟังก์ชันเพิ่ม · $f^{'} < 0$ ฟังก์ชันลด
- $f^{''} > 0$ กราฟเว้าขึ้น · $f^{''} < 0$ กราฟเว้าลง

ตัวอย่าง

วัตถุเคลื่อนที่ตาม $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ เมตร จงหาความเร็วและความเร่งที่ $t = 2$ วินาที

วิธีทำ

1. $v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$
2. $v (2) = 12 - 24 + 9 = - 3$ เมตรต่อวินาที
3. $a (t) = v^{'} (t) = 6 t - 12$
4. $a (2) = 0$ เมตรต่อวินาทีกำลังสอง

ตอบ ความเร็ว $- 3$ ม./วิ. (เคลื่อนที่ถอยหลัง) · ความเร่ง $0$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ความเร็วติดลบไม่ได้แปลว่าช้า แต่แปลว่า เคลื่อนที่ในทิศตรงข้าม · ขนาดของความเร็วคือค่าสัมบูรณ์ · แยกสองเรื่องนี้ให้ออก มิฉะนั้นจะตีความคำตอบผิดแม้คำนวณถูก

2.4 เส้นสัมผัสและเส้นตั้งฉาก

สมการเส้นสัมผัสที่จุด $(a, f (a))$

y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)

ความชันของเส้นตั้งฉากคือ $- \frac{1}{f ^{'} ( a )}$ ตามกฎเส้นตั้งฉากจาก ม.5

ตัวอย่าง

จงหาสมการเส้นสัมผัสของ $y = x^{2} - 3 x$ ที่จุด $x = 2$

วิธีทำ

1.หาจุดสัมผัส: $f (2) = 4 - 6 = - 2$ จึงเป็นจุด $(2, - 2)$
2. $f^{'} (x) = 2 x - 3$ จึง $f^{'} (2) = 1$
3. $y - (- 2) = 1 (x - 2)$

ตอบ $y = x - 4$

ข้อควรระวัง

ต้องแทน $x = a$ ลงใน สองที่คนละอย่าง — ใน $f$ เพื่อหาจุด และใน $f^{'}$ เพื่อหาความชัน · ใช้ค่าเดียวกันสองที่คือคำตอบผิด และเป็นความสับสนที่พบบ่อยที่สุดตรงนี้

🎯 Key takeaways

อนุพันธ์คือความชันของเส้นสัมผัส และคืออัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง
$\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$ ใช้ได้กับ $n$ ทุกจำนวนจริง
$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ — อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์
กฎลูกโซ่: อย่าลืมคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันข้างใน
เส้นสัมผัสต้องใช้ $f (a)$ หาจุด และ $f^{'} (a)$ หาความชัน

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena