Chapter 1

ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

Limits and Continuity

แนวคิดที่แคลคูลัสทั้งวิชาตั้งอยู่บนมัน — ค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้ ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่ฟังก์ชันมีจริงที่จุดนั้น

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.6
Common Core (US): —
Cambridge: A Level — Differentiation: limits and continuity

1.1 ความคิดเรื่องลิมิต

คำถามของลิมิตไม่ใช่ “ฟังก์ชันมีค่าเท่าไรที่จุดนี้” แต่คือ “ฟังก์ชันกำลังมุ่งไปหาค่าอะไร เมื่อเข้าใกล้จุดนี้” · สองคำถามนี้ตอบไม่เหมือนกันได้ และความต่างนั้นคือหัวใจของบท

สัญลักษณ์ลิมิต

x \to a lim f (x) = L

อ่านว่า เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$ ค่าของ $f (x)$ เข้าใกล้ $L$

ตัวอย่าง

จงหา $lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$

วิธีทำ

1.แทน $x = 2$ ตรง ๆ ได้ $\frac{0}{0}$ ซึ่งไม่นิยาม
2.แยกตัวประกอบตัวเศษ: $\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2}$
3.เมื่อ $x \neq = 2$ ตัดทอนได้เหลือ $x + 2$
4. $lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$

ตอบ $4$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ฟังก์ชันในตัวอย่างข้างบน ไม่มีค่าที่ $x = 2$ เลย เพราะตัวส่วนเป็นศูนย์ · แต่ลิมิตยังมีค่า 4 · การตัดทอน $x - 2$ ทำได้เพราะลิมิตสนใจค่าที่ $x$ ใกล้ 2 ไม่ใช่ที่ $x$ เท่ากับ 2 พอดี

ข้อควรระวัง

$\frac{0}{0}$ ไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นสัญญาณว่าต้องจัดรูปก่อน · วิธีที่ใช้บ่อยคือแยกตัวประกอบแล้วตัดทอน หรือคูณด้วยสังยุคเมื่อมีราก

1.2 กฎของลิมิต

●
ลิมิตกระจายเข้าไปในการดำเนินการได้
- ลิมิตของผลบวก เท่ากับผลบวกของลิมิต
- ลิมิตของผลคูณ เท่ากับผลคูณของลิมิต
- ลิมิตของผลหาร เท่ากับผลหารของลิมิต เมื่อลิมิตของตัวส่วนไม่เป็นศูนย์
●
ลิมิตด้านเดียว
- $lim_{x \to a^{-}}$ คือเข้าใกล้จากทางซ้าย · $lim_{x \to a^{+}}$ คือจากทางขวา
- ลิมิตมีค่าก็ต่อเมื่อลิมิตซ้ายและขวาเท่ากัน

ตัวอย่าง

จงหา $lim_{x \to 0} \frac{x + 9 - 3}{x}$

วิธีทำ

1.แทนตรง ๆ ได้ $\frac{0}{0}$ จึงต้องจัดรูป
2.คูณด้วยสังยุค $x + 9 + 3$ ทั้งเศษและส่วน
3.ตัวเศษกลายเป็น $(x + 9) - 9 = x$
4.เหลือ $\frac{x}{x ( x + 9 + 3 )} = \frac{1}{x + 9 + 3}$
5.แทน $x = 0$ : $\frac{1}{3 + 3}$

ตอบ $\frac{1}{6}$

เคล็ดลับ

เห็นรากในโจทย์ลิมิตที่ให้ $\frac{0}{0}$ ให้นึกถึง สังยุค ทันที — เทคนิคเดียวกับการทำตัวส่วนไม่มีรากใน ม.4 แต่คราวนี้ใช้กับตัวเศษ

1.3 ความต่อเนื่อง

นิยาม

ฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด $a$

ต้องครบสามเงื่อนไข: $f (a)$ มีค่า · $lim_{x \to a} f (x)$ มีค่า · และสองค่านั้น เท่ากัน

แบบ	เกิดเมื่อ	ภาพบนกราฟ
รูโหว่	ลิมิตมีค่าแต่ $f (a)$ ไม่มี หรือไม่เท่ากัน	จุดขาดหนึ่งจุด
กระโดด	ลิมิตซ้ายและขวาไม่เท่ากัน	กราฟขาดเป็นสองท่อน
ไม่มีขอบเขต	ลิมิตพุ่งไปอนันต์	มีเส้นกำกับตั้ง

สามแบบของการไม่ต่อเนื่อง

เคล็ดลับ

นิยามแบบง่ายที่ใช้ตรวจได้เร็ว: ฟังก์ชันต่อเนื่องคือกราฟที่ วาดได้โดยไม่ต้องยกปลายดินสอ · ตรงไหนที่ต้องยกดินสอ ตรงนั้นไม่ต่อเนื่อง

ตัวอย่าง

$f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ ต่อเนื่องที่ $x = 1$ หรือไม่

วิธีทำ

1. $f (1)$ ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ จึง ไม่มีค่า
2.แต่ $lim_{x \to 1} f (x) = lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$ มีค่า
3.เงื่อนไขข้อแรกไม่ผ่าน

ตอบ ไม่ต่อเนื่องที่ $x = 1$ · เป็นความไม่ต่อเนื่องแบบรูโหว่

1.4 ลิมิตที่อนันต์

ลิมิตของฟังก์ชันตรรกยะเมื่อ $x$ โตไม่จำกัด

x \to \infty lim \frac{a _{m} x ^{m} + \dots}{b _{n} x ^{n} + \dots}

เทียบดีกรี: เศษน้อยกว่าส่วนได้ 0 · เท่ากันได้อัตราส่วนสัมประสิทธิ์นำ · เศษมากกว่าส่วนไม่มีลิมิต

ตัวอย่าง

จงหา $lim_{x \to \infty} \frac{3 x ^{2} + 5 x}{2 x ^{2} - 7}$

วิธีทำ

1.ดีกรีของเศษและส่วนเท่ากันคือ 2
2.จึงดูอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
3. $\frac{3}{2}$

ตอบ $\frac{3}{2}$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

เหตุผลคือเมื่อ $x$ ใหญ่มาก พจน์ดีกรีสูงสุดครอบงำทุกอย่าง · ที่ $x = 1, 000, 000$ ค่า $3 x^{2}$ ใหญ่กว่า $5 x$ อยู่หลายแสนเท่า พจน์อื่นจึงกลายเป็นเศษฝุ่นที่ไม่กระทบอัตราส่วน

ข้อควรระวัง

$\infty$ ไม่ใช่จำนวน จึงเอาไปบวกลบคูณหารตามปกติไม่ได้ · $\infty - \infty$ ไม่เท่ากับ 0 และ $\frac{\infty}{\infty}$ ไม่เท่ากับ 1 · ทั้งสองเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดที่ต้องจัดรูปก่อนเสมอ

🎯 Key takeaways

ลิมิตถามว่าฟังก์ชันมุ่งไปหาค่าอะไร ไม่ได้ถามว่ามีค่าเท่าไรที่จุดนั้น
$\frac{0}{0}$ เป็นสัญญาณให้จัดรูป ไม่ใช่คำตอบ — แยกตัวประกอบหรือคูณสังยุค
ลิมิตมีค่าก็ต่อเมื่อลิมิตซ้ายและขวาเท่ากัน
ต่อเนื่องต้องครบสามข้อ: $f (a)$ มีค่า ลิมิตมีค่า และสองค่านั้นเท่ากัน
ลิมิตที่อนันต์ของฟังก์ชันตรรกยะตัดสินจากการเทียบดีกรีของเศษกับส่วน

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena