Chapter 4

เวกเตอร์ในสามมิติ

Vectors in Three Dimensions

ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง — วิธีบวก คูณด้วยสเกลาร์ และการคูณสองแบบที่ตอบคำถามคนละอย่าง คือดอตกับครอส

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.5
Common Core (US): N-VM
Cambridge: A Level — Vectors

4.1 เวกเตอร์และการดำเนินการพื้นฐาน

นิยาม

เวกเตอร์ (Vector)

ปริมาณที่มีทั้ง ขนาด และ ทิศทาง เช่นแรงและความเร็ว · ต่างจากสเกลาร์ซึ่งมีแต่ขนาด เช่นมวลและอุณหภูมิ

ขนาดของเวกเตอร์

ถ้า v = (a, b, c) แล้ว ∣ v ∣ = a^{2} + b^{2} + c^{2}

เป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสในสามมิติ ซึ่งใช้พีทาโกรัสสองรอบพอดีเหมือนในบทกล่องของ ม.2

●
การดำเนินการพื้นฐาน
- บวกลบทีละองค์ประกอบ: $(a_{1}, b_{1}, c_{1}) + (a_{2}, b_{2}, c_{2}) = (a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{2}, c_{1} + c_{2})$
- คูณด้วยสเกลาร์ $k$ : คูณเข้าทุกองค์ประกอบ ทิศทางคงเดิมถ้า $k > 0$ และกลับทิศถ้า $k < 0$
- เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศของ $v$ คือ $\frac{v}{∣ v ∣}$

ตัวอย่าง

ให้ $u = (2, - 1, 3)$ จงหาขนาดและเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศเดียวกัน

วิธีทำ

1. $∣ u ∣ = 4 + 1 + 9 = 14$
2.เวกเตอร์หนึ่งหน่วย $= \frac{1}{14} (2, - 1, 3)$

ตอบ $∣ u ∣ = 14$ · หนึ่งหน่วยคือ $(\frac{2}{14}, \frac{- 1}{14}, \frac{3}{14})$

4.2 ผลคูณเชิงสเกลาร์

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (ดอต)

u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ

ผลลัพธ์เป็น จำนวนจริง ไม่ใช่เวกเตอร์

●
สิ่งที่ดอตบอกเราได้
- หามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว: $cos θ = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣∣ v ∣}$
- ดอตเป็นศูนย์แปลว่าตั้งฉากกัน — เป็นการทดสอบที่เร็วที่สุด
- ดอตเป็นบวกแปลว่ามุมแหลม · เป็นลบแปลว่ามุมป้าน

ตัวอย่าง

จงตรวจว่า $u = (1, 2, 3)$ กับ $v = (4, - 5, 2)$ ตั้งฉากกันหรือไม่

วิธีทำ

1. $u \cdot v = 1 (4) + 2 (- 5) + 3 (2)$
2. $= 4 - 10 + 6 = 0$

ตอบ ตั้งฉากกัน

ข้อควรระวัง

ผลลัพธ์ของดอตเป็นตัวเลข ไม่ใช่เวกเตอร์ · เขียนคำตอบเป็นเวกเตอร์คือผิดชนิดของปริมาณ ซึ่งข้อสอบหักคะแนนแม้ตัวเลขจะถูก

4.3 ผลคูณเชิงเวกเตอร์

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (ครอส)

u \times v = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}, u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}, u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})

ผลลัพธ์เป็น เวกเตอร์ ที่ตั้งฉากกับทั้ง $u$ และ $v$

	ดอต	ครอส
ผลลัพธ์	จำนวนจริง	เวกเตอร์
เป็นศูนย์เมื่อ	ตั้งฉากกัน	ขนานกัน
ใช้หา	มุมระหว่างเวกเตอร์	เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้งคู่
สลับที่	$u \cdot v = v \cdot u$	$u \times v = - v \times u$

ดอตกับครอส ตอบคำถามคนละอย่าง

ขนาดของครอสกับพื้นที่

∣ u \times v ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣ sin θ

เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี $u$ กับ $v$ เป็นด้าน

เคล็ดลับ

จำความต่างด้วยคำถาม: อยากได้ ตัวเลข (มุม งาน) ใช้ดอต · อยากได้ ทิศทางใหม่ (แกนหมุน เส้นตั้งฉากกับระนาบ) ใช้ครอส

4.4 การนำเวกเตอร์ไปใช้

●
ที่ที่เวกเตอร์ถูกใช้จริง
- ฟิสิกส์ — แรงลัพธ์คือผลบวกเวกเตอร์ของแรงย่อย
- การนำทาง — ความเร็วของเครื่องบินรวมกับความเร็วลม
- กราฟิกสามมิติ — ทิศของแสงกับเวกเตอร์ตั้งฉากของผิวกำหนดความสว่าง

ตัวอย่าง

เรือแล่นด้วยความเร็ว $(0, 12)$ กม./ชม. ในน้ำนิ่ง กระแสน้ำมีความเร็ว $(5, 0)$ กม./ชม. จงหาความเร็วลัพธ์และขนาดของมัน

วิธีทำ

1.ความเร็วลัพธ์คือผลบวกเวกเตอร์: $(0 + 5, 12 + 0) = (5, 12)$
2.ขนาด $= 25 + 144 = 169$

ตอบ ความเร็วลัพธ์ $(5, 12)$ · ขนาด $13$ กม./ชม.

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

เวกเตอร์บวกกันแบบ “หัวต่อหาง” ไม่ใช่บวกขนาดตรง ๆ · เรือที่แล่น 12 กับกระแสน้ำ 5 ได้ลัพธ์ 13 ไม่ใช่ 17 เพราะสองทิศตั้งฉากกัน · การบวกขนาดตรง ๆ จะถูกก็ต่อเมื่อสองเวกเตอร์ทิศเดียวกันเท่านั้น

🎯 Key takeaways

เวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทาง · $∣ v ∣ = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
ดอตให้จำนวนจริง และเป็นศูนย์เมื่อสองเวกเตอร์ตั้งฉากกัน
ครอสให้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้งคู่ และเป็นศูนย์เมื่อสองเวกเตอร์ขนานกัน
$u \times v = - v \times u$ — ครอสสลับที่ไม่ได้
เวกเตอร์บวกแบบหัวต่อหาง ไม่ใช่บวกขนาดตรง ๆ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena