Chapter 3

เมทริกซ์

Matrices

ตารางตัวเลขที่บวกลบคูณกันได้ตามกฎของมัน — ใช้แก้ระบบสมการหลายตัวแปรอย่างเป็นระบบ และเป็นภาษาของกราฟิกคอมพิวเตอร์กับการเรียนรู้ของเครื่อง

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.5
Common Core (US): N-VM
Cambridge: A Level Further Maths — Matrices

3.1 เมทริกซ์และการบวกลบ

นิยาม

เมทริกซ์ (Matrix)

ตารางตัวเลขที่จัดเป็นแถวและหลัก · เมทริกซ์ที่มี $m$ แถว $n$ หลัก เรียกว่ามิติ $m \times n$ · สมาชิกตำแหน่งแถว $i$ หลัก $j$ เขียนแทนด้วย $a_{ij}$

●
กฎการบวกและลบ
- บวกลบได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มี มิติเท่ากัน
- บวกลบทีละตำแหน่งที่ตรงกัน
- คูณด้วยจำนวนจริง ให้คูณเข้าทุกสมาชิก

ข้อควรระวัง

อ่านมิติเป็น แถวก่อนหลักเสมอ · เมทริกซ์ $2 \times 3$ มี 2 แถว 3 หลัก ไม่ใช่กลับกัน · สลับตรงนี้ทำให้ตัดสินผิดว่าคูณกันได้หรือไม่

3.2 การคูณเมทริกซ์

เงื่อนไขและผลลัพธ์

A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p}

จำนวนหลักของตัวหน้าต้องเท่ากับจำนวนแถวของตัวหลัง · ตัวเลขที่ตรงกันจะหายไป เหลือมิติหัวท้าย

หาสมาชิกแต่ละตำแหน่ง

1สมาชิกแถว $i$ หลัก $j$ ของผลลัพธ์ มาจากแถว $i$ ของตัวหน้า กับหลัก $j$ ของตัวหลัง
2คูณทีละคู่ตามตำแหน่งแล้วบวกรวมกัน
3ทำซ้ำจนครบทุกตำแหน่งของผลลัพธ์

ตัวอย่าง

ให้ $A = (1324)$ และ $B = (5768)$ จงหา $A B$

วิธีทำ

1.ตำแหน่ง (1,1): $1 (5) + 2 (7) = 19$
2.ตำแหน่ง (1,2): $1 (6) + 2 (8) = 22$
3.ตำแหน่ง (2,1): $3 (5) + 4 (7) = 43$
4.ตำแหน่ง (2,2): $3 (6) + 4 (8) = 50$

ตอบ $A B = (19432250)$

ข้อควรระวัง

การคูณเมทริกซ์ ไม่มีสมบัติสลับที่ · โดยทั่วไป $A B \neq = B A$ และบางครั้ง $B A$ คูณไม่ได้เลยทั้งที่ $A B$ คูณได้ · นี่เป็นความต่างสำคัญที่สุดจากการคูณจำนวนจริง

3.3 ดีเทอร์มิแนนต์และเมทริกซ์ผกผัน

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $2 \times 2$

det (a c b d) = a d - b c

เมทริกซ์ผกผันของ $2 \times 2$

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)

สลับที่ $a$ กับ $d$ · เปลี่ยนเครื่องหมาย $b$ กับ $c$ · แล้วหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ถ้า $det A = 0$ จะหาเมทริกซ์ผกผันไม่ได้ เพราะต้องหารด้วยศูนย์ · ในแง่ของระบบสมการ นั่นแปลว่าระบบนั้น ไม่มีคำตอบเดียว — อาจไม่มีคำตอบเลยหรือมีไม่จำกัด ซึ่งตรงกับเส้นตรงขนานหรือทับกันในบทระบบสมการของ ม.3

ตัวอย่าง

จงหาเมทริกซ์ผกผันของ $A = (4232)$

วิธีทำ

1. $det A = 4 (2) - 3 (2) = 2$
2.สลับและเปลี่ยนเครื่องหมาย: $(2 - 2 - 3 4)$
3.หารด้วย 2 ทุกตัว

ตอบ $A^{- 1} = (1 - 1 - 1.5 2)$

3.4 การแก้ระบบสมการด้วยเมทริกซ์

เขียนระบบสมการเป็นเมทริกซ์

A X = B ⟹ X = A^{- 1} B

$A$ = เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ · $X$ = ตัวแปร · $B$ = ค่าคงตัวฝั่งขวา

ตัวอย่าง

จงแก้ระบบ $2 x + y = 7$ และ $3 x - y = 8$ ด้วยเมทริกซ์

วิธีทำ

1. $A = (23 1 - 1)$ และ $B = (78)$
2. $det A = 2 (- 1) - 1 (3) = - 5$
3. $A^{- 1} = \frac{1}{- 5} (- 1 - 3 - 1 2)$
4. $X = A^{- 1} B$ ให้ $x = \frac{- 1 ( 7 ) - 1 ( 8 )}{- 5} = 3$ และ $y = \frac{- 3 ( 7 ) + 2 ( 8 )}{- 5} = 1$

ตอบ $x = 3$ , $y = 1$

เคล็ดลับ

สำหรับสองตัวแปร วิธีกำจัดตัวแปรจาก ม.3 ยังเร็วกว่า · ประโยชน์จริงของเมทริกซ์อยู่ที่ระบบสามตัวแปรขึ้นไป และที่คอมพิวเตอร์ทำตามได้เป็นขั้นตอนตายตัว ซึ่งเป็นเหตุผลที่มันอยู่เบื้องหลังกราฟิกและการเรียนรู้ของเครื่องทั้งหมด

🎯 Key takeaways

บวกลบเมทริกซ์ได้เฉพาะเมื่อมิติเท่ากัน · อ่านมิติเป็นแถวก่อนหลัก
$A_{m \times n} B_{n \times p}$ คูณได้เมื่อตัวเลขกลางตรงกัน ได้ผลมิติ $m \times p$
การคูณเมทริกซ์ไม่มีสมบัติสลับที่: $A B \neq = B A$ โดยทั่วไป
$det (a c b d) = a d - b c$ · ถ้าเป็นศูนย์จะไม่มีเมทริกซ์ผกผัน
ระบบสมการเขียนเป็น $A X = B$ แล้วแก้ด้วย $X = A^{- 1} B$

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena