Chapter 5

จำนวนเชิงซ้อน

Complex Numbers

ขยายระบบจำนวนอีกครั้งเพื่อให้ $- 1$ มีความหมาย — ทำให้สมการพหุนามทุกสมการมีคำตอบครบตามดีกรีของมัน

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.5
Common Core (US): N-CN
Cambridge: A Level Further Maths — Complex numbers

5.1 หน่วยจินตภาพ

ใน ม.3 เราบอกว่า $x^{2} + 1 = 0$ ไม่มีคำตอบ · ประโยคเต็มคือ “ไม่มีคำตอบ ในระบบจำนวนจริง” · การขยายระบบจำนวนอีกขั้นทำให้มีคำตอบ เหมือนที่จำนวนลบเคยทำให้ $3 - 8$ มีคำตอบ

หน่วยจินตภาพ

i = - 1 i^{2} = - 1

$i^{1}$	$i^{2}$	$i^{3}$	$i^{4}$
$i$	$- 1$	$- i$	$1$

กำลังของ

i

วนซ้ำทุกสี่

เคล็ดลับ

หา $i^{n}$ ด้วยการ หาร $n$ ด้วย 4 แล้วดูเศษ · $i^{23}$ มีเศษ 3 จึงเท่ากับ $i^{3} = - i$ · ไม่ต้องคูณทีละตัว

นิยาม

จำนวนเชิงซ้อน (Complex number)

จำนวนในรูป $z = a + bi$ เมื่อ $a, b$ เป็นจำนวนจริง · $a$ เรียกว่าส่วนจริง · $b$ เรียกว่าส่วนจินตภาพ · จำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มี $b = 0$

5.2 การดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อน

●
กฎการคำนวณ
- บวกลบ — รวมส่วนจริงกับส่วนจริง และส่วนจินตภาพกับส่วนจินตภาพ
- คูณ — กระจายเหมือนพหุนาม แล้วแทน $i^{2} = - 1$
- หาร — คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน

สังยุคและขนาด

\overset{z}{ˉ} = a - bi z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2} ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

$z \overset{z}{ˉ}$ เป็นจำนวนจริงเสมอ ซึ่งเป็นเหตุผลที่ใช้สังยุคกำจัด $i$ ออกจากตัวส่วนได้

ตัวอย่าง 1

จงหาผลคูณ $(3 + 2 i) (1 - 4 i)$

วิธีทำ

1.กระจาย: $3 - 12 i + 2 i - 8 i^{2}$
2.แทน $i^{2} = - 1$ : $3 - 12 i + 2 i + 8$
3.รวมพจน์: $(3 + 8) + (- 12 + 2) i$

ตอบ $11 - 10 i$

ตัวอย่าง 2

จงหาผลหาร $\frac{2 + 3 i}{1 - i}$

วิธีทำ

1.คูณด้วยสังยุคของตัวส่วนคือ $1 + i$
2.ตัวส่วน: $(1 - i) (1 + i) = 1 + 1 = 2$
3.ตัวเศษ: $(2 + 3 i) (1 + i) = 2 + 2 i + 3 i + 3 i^{2} = - 1 + 5 i$

ตอบ $\frac{- 1 + 5 i}{2}$

ข้อควรระวัง

$- 4 - 9 \neq = 36$ · กฎ $a b = ab$ ใช้ได้เมื่อทั้งคู่ไม่ติดลบเท่านั้น · ต้องแปลงเป็น $2 i \times 3 i = 6 i^{2} = - 6$ ก่อนเสมอ

5.3 รากของสมการพหุนาม

สมการกำลังสองที่ดิสคริมิแนนต์ติดลบ

x = \frac{- b \pm i 4 a c - b ^{2}}{2 a} เมื่อ b^{2} - 4 a c < 0

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ในบทที่ 3 ของ ม.3 เราเขียนว่า “ไม่มีคำตอบจริง” · ตอนนี้ประโยคนั้นครบขึ้น — มีคำตอบสองตัวเสมอ แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน · ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต บอกว่าพหุนามดีกรี $n$ มีรากรวม $n$ ราก เมื่อนับจำนวนเชิงซ้อนและนับรากซ้ำด้วย

ตัวอย่าง

จงแก้สมการ $x^{2} - 4 x + 13 = 0$

วิธีทำ

1. $b^{2} - 4 a c = 16 - 52 = - 36$ ติดลบ
2. $x = \frac{4 \pm - 36}{2}$
3. $- 36 = 6 i$
4. $x = \frac{4 \pm 6 i}{2}$

ตอบ $x = 2 + 3 i$ หรือ $x = 2 - 3 i$

เคล็ดลับ

ถ้าสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนจริง รากเชิงซ้อนจะมาเป็น คู่สังยุคเสมอ · เห็น $2 + 3 i$ เป็นราก ก็รู้ทันทีว่า $2 - 3 i$ เป็นรากด้วย โดยไม่ต้องคำนวณ

5.4 แผนภาพเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน $a + bi$ วาดเป็นจุด $(a, b)$ บนระนาบได้ โดยแกนนอนเป็นส่วนจริงและแกนตั้งเป็นส่วนจินตภาพ · เรียกว่าแผนภาพอาร์กอง

รูปเชิงขั้ว

z = r (cos θ + i sin θ) r = ∣ z ∣ tan θ = \frac{b}{a}

$r$ คือระยะจากจุดกำเนิด · $θ$ คือมุมที่ทำกับแกนจริง

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วคือ คูณขนาดและบวกมุม · แปลว่าการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนเป็นการหมุนบวกกับการขยาย ซึ่งเป็นเหตุผลที่มันเป็นเครื่องมือหลักของวิศวกรรมไฟฟ้าและการประมวลผลสัญญาณ

ตัวอย่าง

จงเขียน $z = 1 + i$ ในรูปเชิงขั้ว

วิธีทำ

1. $r = 1 + 1 = 2$
2. $tan θ = \frac{1}{1} = 1$ และจุดอยู่ในควอดรันต์ที่ 1
3.จึง $θ = 4 5^{\circ}$

ตอบ $z = 2 (cos 4 5^{\circ} + i sin 4 5^{\circ})$

🎯 Key takeaways

$i^{2} = - 1$ และกำลังของ $i$ วนซ้ำทุกสี่ — หาเศษจากการหารด้วย 4
คูณจำนวนเชิงซ้อนเหมือนพหุนามแล้วแทน $i^{2} = - 1$ · หารด้วยการคูณสังยุค
$a b = ab$ ใช้กับจำนวนติดลบไม่ได้ ต้องแปลงเป็น $i$ ก่อน
พหุนามดีกรี $n$ มีราก $n$ ราก เมื่อนับจำนวนเชิงซ้อนและรากซ้ำ
รากเชิงซ้อนของพหุนามสัมประสิทธิ์จริงมาเป็นคู่สังยุคเสมอ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena