Chapter 2

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

Trigonometric Functions

ขยายอัตราส่วนตรีโกณมิติจากสามเหลี่ยมมุมฉากออกไปสู่ทุกมุมด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วศึกษากราฟที่เกิดขึ้นซ้ำเป็นคาบ

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.5
Common Core (US): F-TF
Cambridge: AS / A Level — Trigonometry

2.1 วงกลมหนึ่งหน่วย

สามเหลี่ยมมุมฉากบอกอัตราส่วนได้เฉพาะมุมระหว่าง $0^{\circ}$ ถึง $9 0^{\circ}$ · วงกลมหนึ่งหน่วยขยายนิยามให้ครอบคลุมทุกมุม รวมทั้งมุมลบและมุมที่เกิน $36 0^{\circ}$

นิยามบนวงกลมหนึ่งหน่วย

จุด (cos θ, sin θ) บนวงกลมรัศมี 1 ที่มุม θ จากแกน x

$cos$ คือพิกัดแนวนอน · $sin$ คือพิกัดแนวตั้ง — จำแค่นี้ก็ได้เครื่องหมายทุกควอดรันต์

ควอดรันต์	ช่วงมุม	$sin$	$cos$	$tan$
I	$0^{\circ}$ – $9 0^{\circ}$	บวก	บวก	บวก
II	$9 0^{\circ}$ – $18 0^{\circ}$	บวก	ลบ	ลบ
III	$18 0^{\circ}$ – $27 0^{\circ}$	ลบ	ลบ	บวก
IV	$27 0^{\circ}$ – $36 0^{\circ}$	ลบ	บวก	ลบ

เครื่องหมายในแต่ละควอดรันต์

เคล็ดลับ

ไม่ต้องท่องตาราง · $cos$ คือ $x$ จึงเป็นบวกทางขวา (ควอดรันต์ I และ IV) · $sin$ คือ $y$ จึงเป็นบวกด้านบน (ควอดรันต์ I และ II) · $tan$ เป็นบวกเมื่อ $x$ กับ $y$ เครื่องหมายเดียวกัน

เรเดียน

18 0^{\circ} = π เรเดียน 1 เรเดียน = \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

เรเดียนคือความยาวส่วนโค้งบนวงกลมรัศมี 1 · เป็นหน่วยที่แคลคูลัสใน ม.6 ต้องใช้

2.2 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชัน	คาบ	เรนจ์	ลักษณะเด่น
$y = sin x$	$36 0^{\circ}$	$- 1 \leq y \leq 1$	เริ่มที่ 0 ขึ้นก่อน
$y = cos x$	$36 0^{\circ}$	$- 1 \leq y \leq 1$	เริ่มที่ 1 ลงก่อน
$y = tan x$	$18 0^{\circ}$	จำนวนจริงทั้งหมด	มีเส้นกำกับตั้งทุก $9 0^{\circ}$

สมบัติของกราฟหลักสามเส้น

การแปลงกราฟ

y = A sin (B (x - C)) + D

$∣ A ∣$ = แอมพลิจูด · คาบ $= \frac{36 0 ^{\circ}}{∣ B ∣}$ · $C$ = เลื่อนซ้ายขวา · $D$ = เลื่อนขึ้นลง

ตัวอย่าง

จงหาแอมพลิจูดและคาบของ $y = 3 sin (2 x)$

วิธีทำ

1. $A = 3$ จึงแอมพลิจูดเท่ากับ 3 · กราฟแกว่งระหว่าง $- 3$ ถึง $3$
2. $B = 2$ จึงคาบ $= \frac{36 0 ^{\circ}}{2}$

ตอบ แอมพลิจูด $3$ · คาบ $18 0^{\circ}$

ข้อควรระวัง

$B$ หาร คาบ ไม่ใช่คูณ · $sin (2 x)$ แกว่งเร็วขึ้นเป็นสองเท่า คาบจึงสั้นลงครึ่งหนึ่ง · หลายคนตอบ $72 0^{\circ}$ ซึ่งกลับด้าน

2.3 เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์พีทาโกรัส

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 11 + tan^{2} θ = sec^{2} θ 1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ

สองข้อหลังได้จากข้อแรกโดยหารด้วย $cos^{2} θ$ และ $sin^{2} θ$ ตามลำดับ

ผลบวกและผลต่างของมุม

sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B

สังเกตว่า $cos$ สลับเครื่องหมาย ตรงข้ามกับที่เห็นในวงเล็บ

มุมสองเท่า

sin 2 A = 2 sin A cos A cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A = 2 cos^{2} A - 1 = 1 - 2 sin^{2} A

ตัวอย่าง

ถ้า $sin θ = \frac{3}{5}$ และ $θ$ อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 จงหา $cos θ$ และ $sin 2 θ$

วิธีทำ

1. $cos^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ จึง $cos θ = \pm \frac{4}{5}$
2.ควอดรันต์ที่ 2 มี $cos$ เป็นลบ จึงเลือก $- \frac{4}{5}$
3. $sin 2 θ = 2 (\frac{3}{5}) (- \frac{4}{5})$

ตอบ $cos θ = - \frac{4}{5}$ · $sin 2 θ = - \frac{24}{25}$

ข้อควรระวัง

เอกลักษณ์พีทาโกรัสให้ค่า สองค่าเสมอ เพราะมีรากที่สอง · ต้องใช้ควอดรันต์ที่โจทย์บอกมาเลือกเครื่องหมาย · ข้ามขั้นนี้คือได้คำตอบผิดเครื่องหมายครึ่งหนึ่งของข้อสอบ

2.4 สมการตรีโกณมิติ กฎของไซน์และโคไซน์

กฎของไซน์

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}

ใช้เมื่อรู้มุมกับด้านที่อยู่ตรงข้ามกันเป็นคู่

กฎของโคไซน์

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

ใช้เมื่อรู้สองด้านกับมุมระหว่าง หรือรู้ครบสามด้าน · เมื่อ $C = 9 0^{\circ}$ จะลดรูปเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสพอดี

ตัวอย่าง 1

สามเหลี่ยมมีด้าน $a = 7$ , $b = 8$ และมุม $C = 6 0^{\circ}$ จงหาด้าน $c$

วิธีทำ

1.รู้สองด้านกับมุมระหว่าง จึงใช้กฎของโคไซน์
2. $c^{2} = 49 + 64 - 2 (7) (8) cos 6 0^{\circ}$
3. $= 113 - 112 \times \frac{1}{2} = 113 - 56 = 57$

ตอบ $c = 57 \approx 7.55$

ตัวอย่าง 2

จงแก้สมการ $2 sin x - 1 = 0$ เมื่อ $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$

วิธีทำ

1. $sin x = \frac{1}{2}$
2.มุมอ้างอิงคือ $3 0^{\circ}$
3. $sin$ เป็นบวกในควอดรันต์ที่ 1 และ 2
4.ควอดรันต์ 1 ได้ $3 0^{\circ}$ · ควอดรันต์ 2 ได้ $18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}$

ตอบ $x = 3 0^{\circ}$ หรือ $x = 15 0^{\circ}$

ข้อควรระวัง

สมการตรีโกณมิติมีคำตอบ มากกว่าหนึ่งค่าเสมอ ในหนึ่งรอบ · เครื่องคิดเลขให้มาแค่ค่าเดียว ต้องใช้ควอดรันต์หาคำตอบที่เหลือเอง · ตอบค่าเดียวคือตอบไม่ครบ

🎯 Key takeaways

บนวงกลมหนึ่งหน่วย $cos$ คือพิกัด $x$ และ $sin$ คือพิกัด $y$ — ใช้หาเครื่องหมายได้ทุกควอดรันต์
$18 0^{\circ} = π$ เรเดียน
$y = A sin (B x)$ มีแอมพลิจูด $∣ A ∣$ และคาบ $\frac{36 0 ^{\circ}}{∣ B ∣}$ — $B$ หารคาบ
$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ ให้สองเครื่องหมาย ต้องใช้ควอดรันต์เลือก
กฎของโคไซน์ใช้เมื่อรู้สองด้านกับมุมระหว่าง · สมการตรีโกณมิติมีหลายคำตอบเสมอ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena