Chapter 1

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

Exponential and Logarithmic Functions

ฟังก์ชันที่โตหรือลดแบบทวีคูณ และฟังก์ชันผกผันของมันที่ตอบคำถาม “ต้องยกกำลังเท่าไร” — เครื่องมือของดอกเบี้ยทบต้น การสลายตัวของสาร และมาตราวัดแผ่นดินไหว

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาพื้นฐานและเพิ่มเติม ม.5
Common Core (US): F-LE, F-BF
Cambridge: AS Level — Exponentials and logarithms

1.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

นิยาม

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันรูป $y = a^{x}$ เมื่อ $a > 0$ และ $a \neq = 1$ · ตัวแปรอยู่ที่ เลขชี้กำลัง ไม่ใช่ที่ฐาน ซึ่งต่างจากฟังก์ชันพหุนามโดยสิ้นเชิง

●
ลักษณะของกราฟ
- $a > 1$ → กราฟเพิ่ม เรียกว่าการเติบโตแบบทวีคูณ
- $0 < a < 1$ → กราฟลด เรียกว่าการสลายตัวแบบทวีคูณ
- ผ่านจุด $(0, 1)$ เสมอ เพราะ $a^{0} = 1$
- ค่า $y$ เป็นบวกเสมอ กราฟจึงไม่ตัดแกน $x$
- โดเมนคือจำนวนจริงทั้งหมด · เรนจ์คือ $y > 0$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมฐานต้องไม่เป็น 1? เพราะ $1^{x} = 1$ ทุกค่า $x$ ซึ่งเป็นเส้นตรงแนวนอน ไม่มีพฤติกรรมแบบเอกซ์โพเนนเชียลเลย และไม่มีฟังก์ชันผกผัน · ทำไมฐานต้องเป็นบวก? เพราะ $(- 4)^{1/2}$ ไม่มีค่าจริง โดเมนจะขาดเป็นช่วง ๆ

เคล็ดลับ

การเติบโตแบบทวีคูณเร็วกว่าที่สัญชาตญาณคาดเสมอ · พับกระดาษ 42 ครั้งได้ความหนาถึงดวงจันทร์ในทางทฤษฎี · นี่คือเหตุผลที่ดอกเบี้ยทบต้นและหนี้บัตรเครดิตเป็นเรื่องที่ต้องคำนวณ ไม่ใช่ประมาณเอา

1.2 ลอการิทึม

นิยามของลอการิทึม

lo g_{a} x = y ⟺ a^{y} = x (a > 0, a \neq = 1, x > 0)

อ่านว่า “ต้องยก $a$ กำลังเท่าไรจึงได้ $x$ ”

●
ฐานที่ใช้บ่อยและชื่อเรียก
- $lo g x$ ไม่เขียนฐาน หมายถึงฐาน 10 เรียกว่าลอการิทึมสามัญ
- $ln x$ หมายถึงฐาน $e \approx 2.718$ เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติ
●
ค่าที่ควรรู้ทันที
- $lo g_{a} 1 = 0$ เพราะ $a^{0} = 1$
- $lo g_{a} a = 1$ เพราะ $a^{1} = a$
- $lo g_{a} a^{n} = n$

สมบัติของลอการิทึม

lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N lo g_{a} M^{p} = p lo g_{a} M

ลอการิทึมเปลี่ยนการคูณเป็นการบวก ซึ่งเป็นเหตุผลที่มันถูกคิดค้นขึ้นตั้งแต่แรก

ข้อควรระวัง

$lo g (M + N) \neq = lo g M + lo g N$ · สมบัติข้อแรกใช้กับ ผลคูณ ไม่ใช่ผลบวก · เป็นข้อผิดพลาดที่พบมากที่สุดในบทนี้ และตรวจได้ง่ายด้วยการแทนตัวเลข

ตัวอย่าง

จงหาค่า $lo g_{2} 8 + lo g_{2} 4$

วิธีทำ

1. $lo g_{2} 8 = 3$ เพราะ $2^{3} = 8$
2. $lo g_{2} 4 = 2$ เพราะ $2^{2} = 4$
3.รวมได้ 5 · ตรวจอีกทาง: $lo g_{2} (8 \times 4) = lo g_{2} 32 = 5$ ตรงกัน

ตอบ $5$

1.3 สมการเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

การเปลี่ยนฐาน

lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}

ใช้เมื่อเครื่องคิดเลขมีแค่ฐาน 10 กับฐาน $e$

แก้สมการที่ทำฐานให้เท่ากันไม่ได้

1จัดให้เลขยกกำลังอยู่โดดเดี่ยว
2ใส่ลอการิทึมทั้งสองข้าง
3ใช้สมบัติ $lo g M^{p} = p lo g M$ ดึงเลขชี้กำลังลงมา
4แก้สมการเชิงเส้นที่ได้

ตัวอย่าง 1

จงแก้สมการ $3^{x} = 20$

วิธีทำ

1.ใส่ $lo g$ ทั้งสองข้าง: $lo g 3^{x} = lo g 20$
2.ดึงเลขชี้กำลังลง: $x lo g 3 = lo g 20$
3. $x = \frac{lo g 20}{lo g 3} \approx \frac{1.301}{0.477}$

ตอบ $x \approx 2.73$

ตัวอย่าง 2

จงแก้สมการ $lo g_{2} (x + 3) = 4$

วิธีทำ

1.เปลี่ยนกลับเป็นรูปเลขยกกำลัง: $x + 3 = 2^{4}$
2. $x + 3 = 16$ จึง $x = 13$
3.ตรวจโดเมน: $x + 3 = 16 > 0$ ใช้ได้

ตอบ $x = 13$

ข้อควรระวัง

ลอการิทึมรับได้เฉพาะค่า บวก เท่านั้น · ทุกคำตอบของสมการลอการิทึมต้องแทนกลับตรวจว่าไม่ทำให้ข้างในเป็นศูนย์หรือติดลบ · คำตอบที่ทำแบบนั้นต้องตัดทิ้งแม้จะแก้พีชคณิตมาถูกทุกขั้น

1.4 การนำไปใช้

การเติบโตและการสลายตัว

A = A_{0} (1 + r)^{t} A = A_{0} (\frac{1}{2})^{t / h}

รูปแรกคือการเติบโตอัตรา $r$ ต่อคาบ · รูปหลังคือการสลายตัวที่มีครึ่งชีวิต $h$

ตัวอย่าง

สารกัมมันตรังสีมีครึ่งชีวิต 8 วัน เริ่มต้น 100 กรัม จะเหลือ 12.5 กรัมเมื่อผ่านไปกี่วัน

วิธีทำ

1. $12.5 = 100 (\frac{1}{2})^{t /8}$
2. $\frac{12.5}{100} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$
3.จึงได้ $\frac{t}{8} = 3$

ตอบ $24$ วัน

●
มาตราวัดที่เป็นลอการิทึมโดยไม่ค่อยมีใครบอก
- ริกเตอร์ — ต่างกัน 1 ระดับคือพลังงานต่างกันประมาณ 32 เท่า
- เดซิเบล — ต่างกัน 10 หน่วยคือความเข้มเสียงต่างกัน 10 เท่า
- pH — ต่างกัน 1 หน่วยคือความเข้มข้นไฮโดรเจนไอออนต่างกัน 10 เท่า

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

มาตราเหล่านี้ใช้ลอการิทึมเพราะปริมาณจริงกินช่วงกว้างเป็นล้านเท่า · การบีบด้วยลอการิทึมทำให้เขียนบนแกนเดียวกันได้ · แผ่นดินไหวขนาด 7 จึงไม่ได้แรงกว่าขนาด 6 อยู่เจ็ดในหก แต่แรงกว่าราว 32 เท่า

🎯 Key takeaways

$y = a^{x}$ ผ่าน $(0, 1)$ เสมอ และค่า $y$ เป็นบวกเสมอ
$lo g_{a} x = y$ แปลว่า $a^{y} = x$ — ลอการิทึมคือฟังก์ชันผกผันของเลขยกกำลัง
$lo g (M N) = lo g M + lo g N$ แต่ $lo g (M + N) \neq = lo g M + lo g N$
สมการที่ทำฐานเท่ากันไม่ได้ ให้ใส่ $lo g$ สองข้างแล้วดึงเลขชี้กำลังลงมา
ทุกคำตอบของสมการลอการิทึมต้องตรวจว่าข้างในลอการิทึมยังเป็นบวก

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena