Chapter 7

ลำดับและอนุกรม

Sequences and Series

รูปแบบของตัวเลขที่เรียงต่อกันตามกฎ และผลรวมของมัน — เครื่องมือที่บทดอกเบี้ยและบทลิมิตใน ม.6 จะเรียกใช้ทันที

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาพื้นฐานและเพิ่มเติม ม.5
Common Core (US): F-BF, A-SSE
Cambridge: AS Level — Sequences and series

7.1 ลำดับเลขคณิต

นิยาม

ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)

ลำดับที่ผลต่างระหว่างพจน์ที่ติดกัน คงที่ เรียกผลต่างนั้นว่า $d$ · เช่น $3, 7, 11, 15, \dots$ มี $d = 4$

พจน์ทั่วไปและผลบวก

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

สูตรผลบวกมาจากเรื่องเล่าเกี่ยวกับเกาส์วัยเด็ก — จับหัวกับท้ายมาบวกกัน $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98$ ได้ 101 เท่ากันหมด $50$ คู่ · จึงเป็น “จำนวนคู่ คูณ ผลบวกหัวท้าย” ซึ่งก็คือ $\frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ พอดี

ตัวอย่าง

ลำดับ $5, 9, 13, \dots$ จงหาพจน์ที่ 20 และผลบวก 20 พจน์แรก

วิธีทำ

1. $a_{1} = 5$ , $d = 4$
2. $a_{20} = 5 + 19 (4) = 81$
3. $S_{20} = \frac{20}{2} (5 + 81) = 10 \times 86$

ตอบ $a_{20} = 81$ · $S_{20} = 860$

ข้อควรระวัง

สูตรใช้ $(n - 1) d$ ไม่ใช่ $n d$ · เพราะจากพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 20 บวก $d$ ไปแค่ 19 ครั้ง · เป็นข้อผิดพลาดที่พบมากที่สุดในหัวข้อนี้

7.2 ลำดับเรขาคณิต

นิยาม

ลำดับเรขาคณิต (Geometric sequence)

ลำดับที่อัตราส่วนระหว่างพจน์ที่ติดกัน คงที่ เรียกอัตราส่วนนั้นว่า $r$ · เช่น $2, 6, 18, 54, \dots$ มี $r = 3$

พจน์ทั่วไปและผลบวก

a_{n} = a_{1} r^{n - 1} S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r} (r \neq = 1)

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

S_{\infty} = \frac{a _{1}}{1 - r} เมื่อ ∣ r ∣ < 1

ถ้า $∣ r ∣ \geq 1$ ผลบวกจะไม่ลู่เข้าสู่ค่าใด — ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมบวกเลขไม่รู้จบแล้วได้ค่าจำกัด? เพราะแต่ละพจน์เล็กลงเร็วมาก · $0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots$ เข้าใกล้ 1 โดยไม่มีวันเกิน · นี่คือเหตุผลที่ $0.999 \dots$ เท่ากับ 1 พอดี ไม่ใช่ใกล้เคียง

ตัวอย่าง

จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ $8 + 4 + 2 + 1 + \dots$

วิธีทำ

1. $a_{1} = 8$ และ $r = \frac{1}{2}$
2. $∣ r ∣ < 1$ จึงหาผลบวกอนันต์ได้
3. $S_{\infty} = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}}$

ตอบ $16$

7.3 สัญลักษณ์ผลบวกและอนุกรมอื่น

สัญลักษณ์ซิกมา

i = 1 \sum n a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

อ่านว่า ผลบวกของ $a_{i}$ เมื่อ $i$ ไล่จาก 1 ถึง $n$

ผลบวกที่ควรจำ

i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2} i = 1 \sum n i^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

ตัวอย่าง

จงหาค่า $\sum_{i = 1}^{10} (3 i + 2)$

วิธีทำ

1.แยกผลบวก: $3 \sum i + \sum 2$
2. $\sum_{i = 1}^{10} i = \frac{10 \times 11}{2} = 55$
3. $\sum_{i = 1}^{10} 2 = 2 \times 10 = 20$
4. $3 (55) + 20 = 165 + 20$

ตอบ $185$

ข้อควรระวัง

$\sum_{i = 1}^{n} c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว เท่ากับ $n c$ ไม่ใช่ $c$ · ค่าคงตัวถูกบวกซ้ำ $n$ ครั้ง · ตกตรงนี้ทำให้คำตอบผิดเป็นประจำ

7.4 การนำไปใช้

●
แยกให้ออกว่าเป็นเลขคณิตหรือเรขาคณิต
- เพิ่มขึ้น เท่ากันทุกครั้ง เช่นเงินเดือนขึ้นปีละ 1,000 บาท → เลขคณิต
- เพิ่มขึ้น เป็นเปอร์เซ็นต์ เช่นเงินเดือนขึ้นปีละ 5% → เรขาคณิต
- ทดสอบด้วยการลบพจน์ที่ติดกัน ถ้าได้เท่ากันคือเลขคณิต · ถ้าหารแล้วได้เท่ากันคือเรขาคณิต

ตัวอย่าง

โยนลูกบอลจากที่สูง 10 เมตร ทุกครั้งที่กระทบพื้นจะกระดอนขึ้นได้ 60% ของความสูงเดิม จงหาระยะทางรวมที่ลูกบอลเคลื่อนที่จนหยุด

วิธีทำ

1.ระยะตกครั้งแรก 10 เมตร
2.หลังจากนั้นขึ้นและลงเป็นคู่ ๆ: $6, 6, 3.6, 3.6, \dots$
3.ผลบวกของการกระดอน $= 2 \times \frac{6}{1 - 0.6} = 2 \times 15 = 30$
4.รวมกับระยะตกครั้งแรก

ตอบ $40$ เมตร

เคล็ดลับ

โจทย์ลูกบอลกระดอนพลาดกันมากตรงที่ลืมคูณสอง — ลูกบอลขึ้นแล้วต้องตกลงมาด้วย · และครั้งแรกที่ตกไม่มีขาขึ้นคู่กัน จึงต้องแยกออกมาบวกต่างหาก

🎯 Key takeaways

เลขคณิตบวกด้วย $d$ คงที่: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ — ระวังว่าเป็น $n - 1$ ไม่ใช่ $n$
เรขาคณิตคูณด้วย $r$ คงที่: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์มีผลบวกเมื่อ $∣ r ∣ < 1$ เท่านั้น คือ $\frac{a _{1}}{1 - r}$
$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ และ $\sum_{i = 1}^{n} c = n c$
เพิ่มเท่ากันทุกครั้งคือเลขคณิต · เพิ่มเป็นเปอร์เซ็นต์คือเรขาคณิต

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena