Chapter 8

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน

Interest and the Time Value of Money

บทที่ใช้ได้กับเงินของตัวเองทันที — ดอกเบี้ยเชิงเดี่ยวกับทบต้นต่างกันอย่างไร ค่างวดคำนวณจากอะไร และทำไมหนี้บัตรเครดิตจึงโตเร็วกว่าที่คิด

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาพื้นฐาน ม.5
Common Core (US): F-LE, A-SSE
Cambridge: IGCSE / AS Level — Financial mathematics

8.1 ดอกเบี้ยเชิงเดี่ยวและดอกเบี้ยทบต้น

สองสูตรหลัก

เชิงเดี่ยว : A = P (1 + r t) ทบต้น : A = P (1 + \frac{r}{n})^{n t}

$P$ = เงินต้น · $r$ = อัตราต่อปีเป็นทศนิยม · $t$ = จำนวนปี · $n$ = จำนวนครั้งที่ทบต่อปี

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ความต่างคือดอกเบี้ยเชิงเดี่ยวคิดจาก เงินต้นเท่านั้น ตลอดสัญญา ส่วนทบต้นคิดจาก ยอดที่มีอยู่จริง ซึ่งรวมดอกเบี้ยที่งอกมาแล้ว · ดอกเบี้ยจึงสร้างดอกเบี้ยต่อได้ นั่นคือทั้งหมดของความแตกต่าง

ตัวอย่าง

ฝากเงิน 100,000 บาท อัตรา 6% ต่อปี เป็นเวลา 10 ปี จงเทียบผลของดอกเบี้ยเชิงเดี่ยวกับทบต้นรายปี

วิธีทำ

1.เชิงเดี่ยว: $A = 100000 (1 + 0.06 \times 10) = 160, 000$
2.ทบต้นรายปี: $A = 100000 (1.06)^{10} \approx 100000 \times 1.7908$
3. $\approx 179, 080$

ตอบ เชิงเดี่ยว 160,000 บาท · ทบต้น ประมาณ 179,080 บาท ต่างกันราว 19,000 บาท

เคล็ดลับ

กฎ 72 ใช้ประมาณในหัวได้: เงินจะเพิ่มเป็นสองเท่าในเวลาประมาณ $\frac{72}{อัตราร้อยละ}$ ปี · ที่ 6% คือราว 12 ปี · ใช้ตรวจว่าคำตอบที่คำนวณได้สมเหตุสมผลไหม

8.2 ความถี่ของการทบต้น

ทบต้น	$n$	ยอดสิ้นปีโดยประมาณ
รายปี	1	112,000
รายครึ่งปี	2	112,360
รายไตรมาส	4	112,551
รายเดือน	12	112,683
รายวัน	365	112,747

เงินต้น 100,000 บาท อัตรา 12% ต่อปี เป็นเวลา 1 ปี

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ยิ่งทบถี่ยิ่งได้มาก แต่ เพิ่มขึ้นน้อยลงเรื่อย ๆ และเข้าใกล้ขีดจำกัดหนึ่ง · ขีดจำกัดนั้นคือการทบต่อเนื่อง $A = P e^{r t}$ ซึ่งเป็นที่มาของค่า $e$ ที่พบในบทลอการิทึม

นิยาม

อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี

อัตราที่ทบต้นปีละครั้งแล้วให้ผลเท่ากับสัญญาจริง · ใช้เทียบข้อเสนอที่มีความถี่การทบต่างกัน · เป็นตัวเลขที่ควรถามหาเวลาเปรียบเทียบสินเชื่อ

ข้อควรระวัง

โฆษณามักบอก “ดอกเบี้ย 0.8% ต่อเดือน” ซึ่งฟังดูน้อย · แต่ทบต้นทั้งปีได้ประมาณ $(1.008)^{12} - 1 \approx 10%$ · อัตราต่อเดือนคูณ 12 ไม่ใช่อัตราต่อปีที่แท้จริง เพราะไม่ได้นับผลของการทบ

8.3 ค่างวดและการผ่อนชำระ

มูลค่าอนาคตของการฝากประจำ

F V = R \cdot \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}

$R$ = เงินที่ฝากทุกงวด · $i$ = อัตราต่องวด · $n$ = จำนวนงวด · เป็นอนุกรมเรขาคณิตจากบทที่ 7 โดยตรง

ค่างวดของเงินกู้

R = P \cdot \frac{i ( 1 + i ) ^{n}}{( 1 + i ) ^{n} - 1}

$P$ = เงินต้นที่กู้ · ใช้คำนวณค่างวดบ้านและรถ

ตัวอย่าง

ฝากเงินเดือนละ 3,000 บาท ได้ดอกเบี้ย 6% ต่อปีทบต้นรายเดือน เป็นเวลา 5 ปี จะได้เงินเท่าไร

วิธีทำ

1. $i = \frac{0.06}{12} = 0.005$ ต่อเดือน · $n = 60$ งวด
2. $(1.005)^{60} \approx 1.3489$
3. $F V = 3000 \times \frac{1.3489 - 1}{0.005} = 3000 \times 69.77$

ตอบ ประมาณ $209, 300$ บาท (ฝากจริง 180,000 บาท)

ข้อควรระวัง

$i$ ต้องเป็น อัตราต่องวด ไม่ใช่ต่อปี และ $n$ ต้องเป็น จำนวนงวด ไม่ใช่จำนวนปี · ใส่ 6% กับ 5 แทนที่จะเป็น 0.5% กับ 60 คือคำตอบผิดคนละโลก

8.4 การตัดสินใจทางการเงิน

●
สิ่งที่คณิตศาสตร์บทนี้ช่วยให้เห็น
- ผ่อน 0% ที่ราคาสูงกว่า อาจแพงกว่าจ่ายสดที่ราคาต่ำกว่า
- จ่ายขั้นต่ำบัตรเครดิตทำให้หนี้ยืดยาวหลายปีและดอกเบี้ยรวมสูงกว่าเงินต้น
- เริ่มออมเร็วกว่าสำคัญกว่าออมมากกว่า เพราะเวลาเป็นเลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง

ก. เริ่มออมเดือนละ 2,000 บาทตอนอายุ 25 ถึง 35 แล้วหยุด · ข. เริ่มออมเดือนละ 2,000 บาทตอนอายุ 35 ถึง 60 · ที่ผลตอบแทน 8% ต่อปี ใครมีเงินมากกว่าตอนอายุ 60

วิธีทำ

1.ก. ฝากจริง 10 ปี รวม 240,000 บาท แล้วปล่อยให้โตต่ออีก 25 ปี
2.ข. ฝากจริง 25 ปี รวม 600,000 บาท
3.เงินของ ก. ถูกทบต้นนานกว่ามาก แม้ใส่เงินน้อยกว่ากว่าครึ่ง

ตอบ ก. มีเงินมากกว่า แม้ฝากจริงน้อยกว่า ข. ถึง 360,000 บาท

เคล็ดลับ

ตัวเลขในตัวอย่างข้างบนขึ้นกับอัตราผลตอบแทนที่สมมติ · สิ่งที่ไม่ขึ้นกับสมมติฐานคือ เวลาอยู่ที่เลขชี้กำลัง ส่วนเงินที่ใส่อยู่ที่ตัวคูณ — เลขชี้กำลังชนะตัวคูณเสมอเมื่อเวลานานพอ นี่คือบทเรียนที่แท้จริงของบทนี้

🎯 Key takeaways

ดอกเบี้ยเชิงเดี่ยวคิดจากเงินต้นเสมอ · ทบต้นคิดจากยอดที่มีอยู่จริงซึ่งรวมดอกเบี้ยเดิม
$A = P (1 + \frac{r}{n})^{n t}$ — ทบถี่ขึ้นได้มากขึ้น แต่เพิ่มน้อยลงเรื่อย ๆ
อัตราต่อเดือนคูณ 12 ไม่ใช่อัตราต่อปีที่แท้จริง
ในสูตรค่างวด $i$ ต้องเป็นอัตราต่องวด และ $n$ เป็นจำนวนงวด
เวลาอยู่ที่เลขชี้กำลัง เงินที่ใส่อยู่ที่ตัวคูณ — เริ่มเร็วจึงชนะใส่เยอะ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena