Chapter 6

เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

Analytic Geometry and Conic Sections

อธิบายรูปเรขาคณิตด้วยสมการบนระนาบพิกัด — เส้นตรง วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา ล้วนเกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบในมุมต่างกัน

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.4–ม.5
Common Core (US): G-GPE
Cambridge: A Level — Coordinate geometry

6.1 เส้นตรงและระยะทาง

สูตรพื้นฐานบนระนาบพิกัด

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2}) m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

ระยะทาง จุดกึ่งกลาง และความชัน ตามลำดับ

●
ความสัมพันธ์ของความชัน
- เส้นขนานกัน มีความชัน เท่ากัน
- เส้นตั้งฉากกัน มีความชันคูณกันได้ $- 1$ คือ $m_{1} m_{2} = - 1$
- เส้นแนวนอนมีความชัน 0 · เส้นแนวตั้งไม่มีความชัน (ไม่ใช่ความชันเท่ากับ 0)

ระยะจากจุดถึงเส้นตรง

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

ใช้กับเส้นตรงในรูป $A x + B y + C = 0$ · ค่าสัมบูรณ์ทำให้ระยะไม่ติดลบ

ตัวอย่าง

จงหาระยะจากจุด $(3, 4)$ ถึงเส้นตรง $3 x + 4 y - 10 = 0$

วิธีทำ

1. $∣3 (3) + 4 (4) - 10∣ = ∣9 + 16 - 10∣ = 15$
2. $3^{2} + 4^{2} = 5$
3. $d = \frac{15}{5}$

ตอบ $3$ หน่วย

6.2 วงกลมและพาราโบลา

วงกลมจุดศูนย์กลาง $(h, k)$ รัศมี $r$

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

มาจากสูตรระยะทางโดยตรง — จุดทุกจุดที่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากับ $r$

พาราโบลา

(y - k)^{2} = 4 p (x - h) หรือ (x - h)^{2} = 4 p (y - k)

$∣ p ∣$ คือระยะจากจุดยอดถึงโฟกัส และถึงไดเรกทริกซ์ · รูปแรกเปิดซ้ายขวา รูปหลังเปิดบนล่าง

นิยาม

นิยามเชิงระยะของพาราโบลา

เซตของจุดที่ห่างจากจุดคงที่ (โฟกัส) เท่ากับระยะจากเส้นคงที่ (ไดเรกทริกซ์) เสมอ · นี่คือเหตุผลที่จานดาวเทียมเป็นรูปพาราโบลา — สัญญาณที่เข้ามาขนานแกนจะสะท้อนไปรวมที่โฟกัสจุดเดียว

ตัวอย่าง

จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$

วิธีทำ

1.จัดกลุ่มแล้วทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งสองตัวแปร
2. $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ และ $y^{2} + 4 y = (y + 2)^{2} - 4$
3. $(x - 3)^{2} - 9 + (y + 2)^{2} - 4 - 12 = 0$
4. $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$

ตอบ จุดศูนย์กลาง $(3, - 2)$ · รัศมี $5$

เคล็ดลับ

การทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ที่เรียนใน ม.3 กลับมาใช้อีกครั้งตรงนี้ · ทุกครั้งที่เห็นสมการภาคตัดกรวยในรูปกระจาย ขั้นแรกคือจัดให้เป็นรูปมาตรฐานด้วยวิธีนี้เสมอ

6.3 วงรีและไฮเพอร์โบลา

รูปมาตรฐาน (จุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด)

วงรี : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 ไฮเพอร์โบลา : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

เครื่องหมาย บวก คือวงรี · เครื่องหมาย ลบ คือไฮเพอร์โบลา — นี่คือจุดแยกที่สำคัญที่สุด

รูป	นิยามเชิงระยะ	ตัวอย่างในธรรมชาติ
วงกลม	ระยะถึงจุดหนึ่งคงที่	หน้าตัดของท่อ
พาราโบลา	ระยะถึงจุดเท่ากับระยะถึงเส้น	วิถีของวัตถุที่ถูกโยน
วงรี	ผลบวกระยะถึงสองจุดคงที่	วงโคจรของดาวเคราะห์
ไฮเพอร์โบลา	ผลต่างระยะถึงสองจุดคงที่	เงาของโคมไฟบนผนัง

สรุปภาคตัดกรวยทั้งสี่

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทั้งสี่รูปเรียกรวมกันว่าภาคตัดกรวย เพราะได้จากการตัดกรวยคู่ด้วยระนาบในมุมที่ต่างกัน · ตัดขนานฐานได้วงกลม เอียงเล็กน้อยได้วงรี เอียงจนขนานกับด้านกรวยได้พาราโบลา และเอียงจนตัดกรวยทั้งสองอันได้ไฮเพอร์โบลา

ตัวอย่าง

จงบอกชนิดและจุดยอดของ $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$

วิธีทำ

1.เครื่องหมายบวก จึงเป็นวงรี
2. $a^{2} = 25$ จึง $a = 5$ อยู่ใต้ $x^{2}$ แกนเอกจึงอยู่ในแนวนอน
3.จุดยอดอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางไปตามแกนเอกเป็นระยะ $a$

ตอบ วงรี จุดยอดที่ $(\pm 5, 0)$

6.4 การนำไปใช้

●
สมบัติการสะท้อนที่ใช้ในงานจริง
- พาราโบลา — จานดาวเทียม ไฟหน้ารถ กล้องโทรทรรศน์สะท้อนแสง
- วงรี — ห้องกระซิบที่พูดที่โฟกัสหนึ่งแล้วได้ยินชัดที่อีกโฟกัส และเครื่องสลายนิ่วด้วยคลื่นเสียง
- ไฮเพอร์โบลา — ระบบระบุตำแหน่งจากผลต่างเวลาที่สัญญาณเดินทางถึง

ตัวอย่าง

จานดาวเทียมมีหน้าตัดเป็นพาราโบลากว้าง 4 เมตร ลึก 0.5 เมตร ควรติดตัวรับสัญญาณที่ระยะเท่าไรจากก้นจาน

วิธีทำ

1.วางจุดยอดที่จุดกำเนิด เปิดขึ้น: $x^{2} = 4 p y$
2.ขอบจานอยู่ที่ $x = 2$ และ $y = 0.5$
3. $4 = 4 p (0.5)$ จึง $p = 2$

ตอบ ติดตัวรับที่โฟกัส ซึ่งอยู่สูงจากก้นจาน $2$ เมตร

ข้อควรระวัง

ในสูตร $x^{2} = 4 p y$ ตัว $p$ คือระยะถึงโฟกัส ไม่ใช่ สัมประสิทธิ์ทั้งก้อน · หลายคนอ่านค่า $4 p$ แล้วตอบเป็น $p$ ทันที · ต้องหารสี่ก่อนเสมอ

🎯 Key takeaways

เส้นขนานมีความชันเท่ากัน · เส้นตั้งฉากมีความชันคูณกันได้ $- 1$
วงกลมคือ $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ซึ่งมาจากสูตรระยะทางโดยตรง
สมการภาคตัดกรวยในรูปกระจายต้องทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ก่อนอ่านค่า
เครื่องหมายบวกระหว่างสองพจน์คือวงรี · เครื่องหมายลบคือไฮเพอร์โบลา
สมบัติการสะท้อนของพาราโบลาและวงรีคือเหตุผลเบื้องหลังจานดาวเทียมและห้องกระซิบ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena