Chapter 6

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

Trigonometric Ratios

เชื่อมมุมกับความยาวด้านในสามเหลี่ยมมุมฉาก — เครื่องมือที่ทำให้วัดความสูงและระยะทางที่เข้าไม่ถึงได้จริง และเป็นประตูสู่ฟังก์ชันตรีโกณมิติใน ม.5

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตรายวิชาพื้นฐานและเพิ่มเติม ม.4
Common Core (US): G-SRT
Cambridge: IGCSE / AS Level — Trigonometry

6.1 อัตราส่วนสามตัวหลัก

นิยามในสามเหลี่ยมมุมฉาก

sin θ = \frac{ตรงข้าม}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก} cos θ = \frac{ประชิด}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก} tan θ = \frac{ตรงข้าม}{ประชิด}

“ตรงข้าม” และ “ประชิด” นับเทียบกับมุม $θ$ ที่กำลังพูดถึง ไม่ใช่ตำแหน่งบนกระดาษ

ข้อควรระวัง

ด้านที่เป็น “ประชิด” ของมุมหนึ่ง เป็น “ตรงข้าม” ของอีกมุมหนึ่งในสามเหลี่ยมเดียวกัน · ต้องเลือกมุมอ้างอิงก่อนตั้งชื่อด้านทุกครั้ง มิฉะนั้นจะสลับ $sin$ กับ $cos$ โดยไม่รู้ตัว

อัตราส่วนอีกสามตัวคือส่วนกลับ

csc θ = \frac{1}{sin θ} sec θ = \frac{1}{cos θ} cot θ = \frac{1}{tan θ}

จำคู่ให้ถูก: $sec$ คู่กับ $cos$ ไม่ใช่ $sin$

ตัวอย่าง

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉาก 3 และ 4 ด้านตรงข้ามมุมฉาก 5 · ให้ $θ$ เป็นมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านยาว 3 จงหา $sin θ$ , $cos θ$ , $tan θ$

วิธีทำ

1.ด้านตรงข้าม $θ$ คือ 3 · ด้านประชิดคือ 4 · ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 5
2. $sin θ = \frac{3}{5}$
3. $cos θ = \frac{4}{5}$
4. $tan θ = \frac{3}{4}$

ตอบ $\frac{3}{5}$ , $\frac{4}{5}$ , $\frac{3}{4}$

6.2 มุมพิเศษ

$θ$	$sin θ$	$cos θ$	$tan θ$
$0^{\circ}$	$0$	$1$	$0$
$3 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{3}$
$4 5^{\circ}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$6 0^{\circ}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$
$9 0^{\circ}$	$1$	$0$	ไม่นิยาม

ค่าที่ต้องจำให้ขึ้นใจ

เคล็ดลับ

ไม่ต้องท่องทั้งตาราง · $sin$ ไล่จาก $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ ตามลำดับมุม $0, 30, 45, 60, 90$ · ส่วน $cos$ คืออันเดียวกันอ่านย้อนกลับ

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ค่าเหล่านี้ไม่ได้มาจากเครื่องคิดเลข แต่มาจากรูปจริงสองรูป — สามเหลี่ยมด้านเท่าผ่าครึ่งให้มุม $3 0^{\circ}$ กับ $6 0^{\circ}$ และจัตุรัสผ่าครึ่งตามแนวทแยงให้มุม $4 5^{\circ}$ · วาดสองรูปนี้ได้ ก็สร้างตารางเองได้ทั้งตาราง

เอกลักษณ์พื้นฐาน

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1 tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

ข้อแรกคือทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่หารด้วยกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก

6.3 การหาด้านและมุมที่หายไป

เลือกอัตราส่วนให้ถูกตัว

1ทำเครื่องหมายมุมอ้างอิง แล้วตั้งชื่อด้านทั้งสามเทียบกับมุมนั้น
2ดูว่าโจทย์ให้ด้านไหนมา และถามหาด้านไหน
3เลือกอัตราส่วนที่มีทั้งด้านที่รู้และด้านที่ต้องการ
4ตั้งสมการแล้วแก้
5ตรวจว่าด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวที่สุดอยู่

ตัวอย่าง

บันไดพิงกำแพงทำมุม $6 0^{\circ}$ กับพื้น ปลายล่างห่างกำแพง 2 เมตร บันไดยาวเท่าไร

วิธีทำ

1.ด้านประชิดมุม $6 0^{\circ}$ คือระยะจากกำแพง $= 2$ · บันไดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก
2.อัตราส่วนที่มีทั้งสองอย่างคือ $cos$
3. $cos 6 0^{\circ} = \frac{2}{L}$
4. $\frac{1}{2} = \frac{2}{L}$ จึงได้ $L = 4$

ตอบ บันไดยาว $4$ เมตร

ข้อควรระวัง

ถ้าใช้เครื่องคิดเลข ต้องตรวจว่าอยู่โหมด องศา (DEG) ไม่ใช่เรเดียน · ค่าที่ได้จากโหมดผิดดูเหมือนตัวเลขปกติทุกอย่าง แต่ผิดทั้งข้อโดยไม่มีสัญญาณเตือน

6.4 มุมก้มและมุมเงย

นิยาม

มุมเงย (Angle of elevation)

มุมระหว่างแนวระดับสายตากับแนวที่มองขึ้นไปยังวัตถุที่อยู่สูงกว่า

นิยาม

มุมก้ม (Angle of depression)

มุมระหว่างแนวระดับสายตากับแนวที่มองลงไปยังวัตถุที่อยู่ต่ำกว่า · วัดจากแนวระดับลงไป ไม่ใช่จากแนวดิ่ง

เคล็ดลับ

มุมก้มจากจุดบนลงมา เท่ากับ มุมเงยจากจุดล่างขึ้นไป เพราะเป็นมุมแย้งของเส้นระดับสองเส้นที่ขนานกัน · ใช้ข้อนี้ย้ายมุมลงมาไว้ในสามเหลี่ยมได้ทันที

ตัวอย่าง

ยืนห่างตึก 30 เมตร มองยอดตึกด้วยมุมเงย $4 5^{\circ}$ ระดับสายตาสูงจากพื้น 1.6 เมตร ตึกสูงเท่าไร

วิธีทำ

1. $tan 4 5^{\circ} = \frac{h}{30}$ โดย $h$ คือความสูงเหนือระดับสายตา
2. $1 = \frac{h}{30}$ จึงได้ $h = 30$
3.ความสูงจริงของตึกต้องบวกระดับสายตากลับเข้าไป: $30 + 1.6$

ตอบ ตึกสูง $31.6$ เมตร

ข้อควรระวัง

อย่าลืม บวกความสูงของระดับสายตา กลับเข้าไป · สามเหลี่ยมที่วาดเริ่มจากระดับตา ไม่ใช่จากพื้น · เป็นจุดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุดในโจทย์ประยุกต์ของบทนี้

🎯 Key takeaways

$sin$ คือตรงข้ามส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก · $cos$ คือประชิดส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก · $tan$ คือตรงข้ามส่วนประชิด
ต้องเลือกมุมอ้างอิงก่อนตั้งชื่อด้าน มิฉะนั้นจะสลับ $sin$ กับ $cos$
ค่ามุมพิเศษสร้างเองได้จากสามเหลี่ยมด้านเท่าผ่าครึ่งและจัตุรัสผ่าครึ่ง
$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ คือทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปตรีโกณมิติ
โจทย์มุมก้มมุมเงยต้องบวกความสูงของระดับสายตากลับเข้าไปเสมอ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena