Chapter 5

เลขยกกำลังและกรณฑ์

Exponents and Radicals

ขยายเลขชี้กำลังจากจำนวนเต็มไปเป็นเศษส่วน ทำให้รากกับเลขยกกำลังกลายเป็นเรื่องเดียวกัน แล้วจัดรูปนิพจน์ที่มีรากให้เรียบร้อย

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.4
Common Core (US): N-RN
Cambridge: AS Level — Surds and indices

5.1 เลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน

นิยามที่เชื่อมรากกับเลขยกกำลัง

a^{1/ n} = n a a^{m / n} = n a^{m} = (n a)^{m}

ตัวส่วนของเลขชี้กำลังคืออันดับของราก · ตัวเศษคือกำลัง

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไม $a^{1/2}$ ต้องเป็น $a$ ? เพราะกฎ $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ ต้องยังใช้ได้ · $(a^{1/2})^{2} = a^{1} = a$ และจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ $a$ ก็คือรากที่สองของ $a$ พอดี · นิยามนี้ถูกบังคับด้วยกฎเดิม ไม่ได้ตั้งขึ้นตามใจ

ตัวอย่าง 1

จงหาค่า $8^{2/3}$

วิธีทำ

1.ตัวส่วน 3 คือรากที่สาม · ตัวเศษ 2 คือกำลังสอง
2.ทำรากก่อนจะง่ายกว่า: $38 = 2$
3.แล้วยกกำลังสอง: $2^{2} = 4$

ตอบ $4$

ตัวอย่าง 2

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $\frac{x ^{3/4} \cdot x ^{1/2}}{x ^{1/4}}$

วิธีทำ

1.ตัวเศษ: $x^{3/4 + 1/2} = x^{5/4}$
2.หาร: $x^{5/4 - 1/4} = x^{1}$

ตอบ $x$

เคล็ดลับ

คำนวณ $a^{m / n}$ ให้ ถอดรากก่อนแล้วค่อยยกกำลัง เสมอ · $8^{2/3}$ ถ้ายกกำลังก่อนจะต้องหา $364$ ซึ่งเลขใหญ่กว่าโดยไม่จำเป็น

5.2 การจัดรูปกรณฑ์

●
รูปอย่างง่ายของกรณฑ์ต้องเป็นแบบนี้
- ตัวเลขใต้รากไม่มีตัวประกอบที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์เหลืออยู่
- ไม่มีเศษส่วนอยู่ใต้ราก
- ไม่มีรากอยู่ในตัวส่วน

การทำให้ตัวส่วนไม่มีราก

\frac{1}{a} = \frac{a}{a} \frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{a - b}

กรณีสองพจน์ให้คูณด้วย สังยุค คือตัวเดียวกันแต่สลับเครื่องหมายกลาง

ตัวอย่าง 1

จงทำให้ตัวส่วนไม่มีราก: $\frac{6}{3}$

วิธีทำ

1.คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $3$
2. $= \frac{6 3}{3}$
3. $= 23$

ตอบ $23$

ตัวอย่าง 2

จงทำให้ตัวส่วนไม่มีราก: $\frac{4}{5 - 1}$

วิธีทำ

1.คูณด้วยสังยุค $5 + 1$ ทั้งเศษและส่วน
2.ตัวส่วน: $(5 - 1) (5 + 1) = 5 - 1 = 4$
3. $= \frac{4 ( 5 + 1 )}{4}$

ตอบ $5 + 1$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

สังยุคทำงานเพราะ $(a - b) (a + b) = a - b$ ซึ่งเป็นผลต่างกำลังสองจาก ม.2 · รากหายไปทั้งคู่ในขั้นเดียว

5.3 สมการที่มีกรณฑ์

แก้สมการที่มีราก

1จัดให้รากอยู่โดดเดี่ยวข้างหนึ่ง
2ยกกำลังสองทั้งสองข้างเพื่อกำจัดราก
3ถ้ายังมีรากเหลือ ให้ทำซ้ำ
4แก้สมการที่ได้ตามปกติ
5แทนกลับตรวจทุกคำตอบ — ขั้นนี้บังคับ ไม่ใช่ทางเลือก

ข้อควรระวัง

การยกกำลังสองทั้งสองข้าง สร้างคำตอบปลอมได้ · จาก $x = - 3$ ยกกำลังสองได้ $x^{2} = 9$ ซึ่งมี $x = 3$ เป็นคำตอบด้วย ทั้งที่สมการเดิมไม่มี · จึงต้องแทนกลับตรวจเสมอ

ตัวอย่าง

จงแก้สมการ $2 x + 3 = x$

วิธีทำ

1.ยกกำลังสองทั้งสองข้าง: $2 x + 3 = x^{2}$
2. $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ จึง $(x - 3) (x + 1) = 0$
3.ได้ $x = 3$ หรือ $x = - 1$
4.ตรวจ $x = 3$ : $9 = 3$ ถูกต้อง
5.ตรวจ $x = - 1$ : $1 = 1$ แต่ข้างขวาคือ $- 1$ ไม่เท่ากัน

ตอบ $x = 3$ เท่านั้น

5.4 สมการเลขยกกำลัง

หลักการทำฐานให้เท่ากัน

a^{m} = a^{n} ⟹ m = n (a > 0, a \neq = 1)

เมื่อฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังต้องเท่ากัน

ตัวอย่าง 1

จงแก้สมการ $2^{x + 1} = 32$

วิธีทำ

1.เขียน 32 ให้ฐานเป็น 2: $32 = 2^{5}$
2. $2^{x + 1} = 2^{5}$
3.ฐานเท่ากันแล้ว จึงได้ $x + 1 = 5$

ตอบ $x = 4$

ตัวอย่าง 2

จงแก้สมการ $9^{x} = 2 7^{x - 1}$

วิธีทำ

1.ทำให้ฐานเป็น 3 ทั้งคู่: $9 = 3^{2}$ และ $27 = 3^{3}$
2. $3^{2 x} = 3^{3 (x - 1)}$
3. $2 x = 3 x - 3$

ตอบ $x = 3$

เคล็ดลับ

ถ้าทำฐานให้เท่ากันไม่ได้ เช่น $2^{x} = 7$ ต้องใช้ลอการิทึม ซึ่งเป็นเนื้อหาของ ม.5 · เห็นโจทย์แบบนั้นในชั้นนี้ ให้ตรวจก่อนว่าเขียนสองข้างด้วยฐานเดียวกันได้จริงหรือไม่

🎯 Key takeaways

$a^{m / n} = n a^{m}$ — ตัวส่วนคืออันดับของราก ตัวเศษคือกำลัง
คำนวณให้ถอดรากก่อนแล้วค่อยยกกำลัง จะได้เลขเล็กกว่า
รูปอย่างง่ายต้องไม่มีรากในตัวส่วน · สองพจน์ให้คูณด้วยสังยุค
ยกกำลังสองสองข้างสร้างคำตอบปลอมได้ ต้องแทนกลับตรวจเสมอ
สมการเลขยกกำลังแก้ด้วยการทำฐานให้เท่ากัน แล้วเทียบเลขชี้กำลัง

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena