Chapter 3

จำนวนจริง

The Real Number System

รวบยอดสมบัติของจำนวนจริง แล้วต่อยอดไปสู่ค่าสัมบูรณ์ สมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ และการแก้อสมการพหุนามด้วยเส้นจำนวน

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.4
Common Core (US): N-RN, A-REI
Cambridge: AS Level — Algebra: inequalities and modulus

3.1 สมบัติของจำนวนจริง

●
โครงสร้างของระบบจำนวน
- จำนวนนับ อยู่ใน จำนวนเต็ม อยู่ใน จำนวนตรรกยะ อยู่ใน จำนวนจริง
- จำนวนอตรรกยะอยู่ในจำนวนจริงเช่นกัน แต่ไม่อยู่ในจำนวนตรรกยะ
- จำนวนจริงเติมเส้นจำนวนได้เต็มโดยไม่มีช่องว่าง
●
สมบัติที่ใช้อ้างในการพิสูจน์
- สมบัติปิด สลับที่ เปลี่ยนหมู่ ของการบวกและการคูณ
- การแจกแจง: $a (b + c) = ab + a c$
- เอกลักษณ์การบวกคือ 0 · เอกลักษณ์การคูณคือ 1
- อินเวอร์สการบวกของ $a$ คือ $- a$ · อินเวอร์สการคูณของ $a \neq = 0$ คือ $\frac{1}{a}$

ข้อควรระวัง

การลบและการหาร ไม่มี สมบัติสลับที่และเปลี่ยนหมู่ · $8 - 3 \neq = 3 - 8$ · เวลาข้อสอบถามว่าสมบัติใดใช้ได้ ให้ตรวจว่าเป็นการบวกหรือคูณก่อนเสมอ

3.2 ค่าสัมบูรณ์

นิยามของค่าสัมบูรณ์

∣ a ∣ = {a - a เมื่อ a \geq 0 เมื่อ a < 0

ตีความว่าเป็น ระยะจากศูนย์ ซึ่งไม่มีทางติดลบ

●
สมบัติที่ใช้บ่อย
- $∣ ab ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣$
- $\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}$ เมื่อ $b \neq = 0$
- $∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ เรียกว่าอสมการอสมมาตรสามเหลี่ยม
- $a^{2} = ∣ a ∣$ ไม่ใช่ $a$

แก้สมการที่มีค่าสัมบูรณ์

1จัดให้ค่าสัมบูรณ์อยู่โดดเดี่ยวข้างหนึ่ง
2ถ้าอีกข้างติดลบ แสดงว่าไม่มีคำตอบ เพราะค่าสัมบูรณ์ติดลบไม่ได้
3แยกเป็นสองกรณี: ข้างในเท่ากับค่าบวก และข้างในเท่ากับค่าลบของอีกข้าง
4แก้ทั้งสองกรณี แล้ว แทนกลับตรวจทุกคำตอบ

ตัวอย่าง

จงแก้สมการ $∣2 x - 1∣ = 7$

วิธีทำ

1.กรณีที่ 1: $2 x - 1 = 7$ ได้ $x = 4$
2.กรณีที่ 2: $2 x - 1 = - 7$ ได้ $x = - 3$
3.ตรวจ: $∣2 (4) - 1∣ = 7$ ถูก · $∣2 (- 3) - 1∣ = ∣ - 7∣ = 7$ ถูก

ตอบ $x = 4$ หรือ $x = - 3$

ข้อควรระวัง

$x^{2} = ∣ x ∣$ ไม่ใช่ $x$ · ถ้า $x = - 5$ จะได้ $25 = 5$ ไม่ใช่ $- 5$ · จุดนี้ทำให้คำตอบผิดในบทฟังก์ชันและตรีโกณมิติต่อไปด้วย

3.3 อสมการค่าสัมบูรณ์

สองรูปที่ต้องแยกให้ออก

∣ x ∣ < a ⟺ - a < x < a ∣ x ∣ > a ⟺ x < - a หรือ x > a

น้อยกว่าให้ช่วงเดียวตรงกลาง · มากกว่าให้สองช่วงแยกกันคนละฝั่ง

เคล็ดลับ

จำด้วยความหมายเชิงระยะ: $∣ x ∣ < 3$ คือ “อยู่ห่างศูนย์ไม่เกิน 3” จึงเป็นช่วงเดียวรอบศูนย์ · $∣ x ∣ > 3$ คือ “อยู่ห่างศูนย์เกิน 3” จึงเป็นสองฝั่งที่ไกลออกไป

ตัวอย่าง

จงแก้อสมการ $∣3 x + 2∣ \leq 8$

วิธีทำ

1.เข้ารูปน้อยกว่า จึงได้ $- 8 \leq 3 x + 2 \leq 8$
2.ลบ 2 ทุกส่วน: $- 10 \leq 3 x \leq 6$
3.หาร 3 ทุกส่วน: $- \frac{10}{3} \leq x \leq 2$

ตอบ $- \frac{10}{3} \leq x \leq 2$

3.4 อสมการพหุนาม

วิธีเส้นจำนวน

1จัดให้ข้างหนึ่งเป็นศูนย์
2แยกตัวประกอบให้สมบูรณ์
3หาค่าที่ทำให้แต่ละตัวประกอบเป็นศูนย์ — เรียกว่าค่าวิกฤต
4วางค่าวิกฤตบนเส้นจำนวน แล้วทดสอบเครื่องหมายในแต่ละช่วง
5เลือกช่วงที่ตรงกับเครื่องหมายที่โจทย์ต้องการ

ตัวอย่าง

จงแก้อสมการ $x^{2} - x - 6 > 0$

วิธีทำ

1.แยกตัวประกอบ: $(x - 3) (x + 2) > 0$
2.ค่าวิกฤตคือ $x = 3$ และ $x = - 2$
3.ทดสอบ $x = - 3$ : $(- 6) (- 1) = 6 > 0$ ผ่าน
4.ทดสอบ $x = 0$ : $(- 3) (2) = - 6 < 0$ ไม่ผ่าน
5.ทดสอบ $x = 4$ : $(1) (6) = 6 > 0$ ผ่าน

ตอบ $x < - 2$ หรือ $x > 3$

ข้อควรระวัง

ห้าม คูณไขว้ อสมการที่มีตัวแปรอยู่ในตัวส่วน เพราะไม่รู้ว่าตัวส่วนเป็นบวกหรือลบ จึงไม่รู้ว่าต้องกลับเครื่องหมายหรือไม่ · ให้ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวแล้วรวมเป็นเศษส่วนเดียวก่อนเสมอ

🎯 Key takeaways

สมบัติสลับที่และเปลี่ยนหมู่มีเฉพาะการบวกและการคูณ
$∣ a ∣$ คือระยะจากศูนย์ จึงไม่ติดลบ และ $a^{2} = ∣ a ∣$ ไม่ใช่ $a$
สมการค่าสัมบูรณ์ต้องแยกสองกรณีแล้วแทนกลับตรวจเสมอ
$∣ x ∣ < a$ ให้ช่วงเดียวตรงกลาง · $∣ x ∣ > a$ ให้สองช่วงคนละฝั่ง
อสมการพหุนามแก้ด้วยค่าวิกฤตบนเส้นจำนวน · ห้ามคูณไขว้เมื่อมีตัวแปรในตัวส่วน

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena