Chapter 2

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

Introduction to Logic

กฎของการให้เหตุผลที่คณิตศาสตร์ทั้งวิชายืนอยู่บนมัน — ประพจน์ ตัวเชื่อม ค่าความจริง และการตรวจว่าข้อสรุปตามมาจากเหตุจริงหรือไม่

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาพื้นฐาน ม.4
Common Core (US): —
Cambridge: AS Level — Proof and logical reasoning

2.1 ประพจน์และค่าความจริง

นิยาม

ประพจน์ (Proposition)

ประโยคที่บอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง · คำสั่ง คำถาม และคำอุทาน ไม่ใช่ประพจน์

ประโยค	เป็นประพจน์?	เหตุผล
$2 + 3 = 5$	ใช่ (จริง)	ตัดสินได้
กรุงเทพเป็นเมืองหลวงของญี่ปุ่น	ใช่ (เท็จ)	ตัดสินได้ว่าเท็จ
จงเปิดหน้าต่าง	ไม่ใช่	เป็นคำสั่ง
$x + 1 = 4$	ไม่ใช่	ยังไม่รู้ค่า $x$ จึงตัดสินไม่ได้
วันนี้อากาศดีจัง	ไม่ใช่	เป็นความเห็น

อะไรเป็นประพจน์ อะไรไม่เป็น

ข้อควรระวัง

$x + 1 = 4$ เรียกว่า ประโยคเปิด ไม่ใช่ประพจน์ · แต่พอระบุว่า $x = 3$ หรือใส่ตัวบ่งปริมาณอย่าง “สำหรับทุก $x$ ” เข้าไป มันจะกลายเป็นประพจน์ทันที

2.2 ตัวเชื่อมและตารางค่าความจริง

สัญลักษณ์	อ่านว่า	เป็นจริงเมื่อ
$\sim p$	นิเสธของ $p$	$p$ เป็นเท็จ
$p \land q$	$p$ และ $q$	จริงทั้งคู่
$p \lor q$	$p$ หรือ $q$	จริงอย่างน้อยหนึ่งตัว
$p \to q$	ถ้า $p$ แล้ว $q$	เท็จเฉพาะเมื่อ $p$ จริงแต่ $q$ เท็จ
$p \leftrightarrow q$	$p$ ก็ต่อเมื่อ $q$	ค่าความจริงเหมือนกันทั้งคู่

ตัวเชื่อมทั้งห้า

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไม “ถ้า $p$ แล้ว $q$ ” จึงเป็นจริงเมื่อ $p$ เป็นเท็จ? ลองนึกถึงสัญญา “ถ้าสอบได้ที่หนึ่ง พ่อจะซื้อจักรยานให้” · ถ้าสอบไม่ได้ที่หนึ่ง ไม่ว่าพ่อจะซื้อหรือไม่ซื้อ พ่อก็ยังไม่ได้ผิดสัญญา · สัญญาจะถูกละเมิดกรณีเดียวคือได้ที่หนึ่งแล้วไม่ได้จักรยาน

ตัวอย่าง

ให้ $p$ เป็นจริง และ $q$ เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ $(p \land q) \to\sim p$

วิธีทำ

1. $p \land q$ = จริง และ เท็จ = เท็จ
2. $\sim p$ = นิเสธของจริง = เท็จ
3. $เท็จ \to เท็จ$ · ข้อนำเป็นเท็จ ประพจน์เงื่อนไขจึงเป็นจริง

ตอบ เป็นจริง

เคล็ดลับ

ตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวแปร $n$ ตัว มี $2^{n}$ แถว · สองตัวแปร 4 แถว สามตัวแปร 8 แถว · เขียนคอลัมน์ทีละขั้นจากในวงเล็บออกมา อย่ากระโดดคิดทั้งก้อน

2.3 บทกลับ บทนิเสธ และบทแย้งสลับที่

ชื่อ	รูป	ค่าความจริงเทียบกับ $p \to q$
ประพจน์เดิม	$p \to q$	—
บทกลับ	$q \to p$	ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน
บทนิเสธ	$\sim p \to\sim q$	ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน
บทแย้งสลับที่	$\sim q \to\sim p$	เท่ากันเสมอ

สี่รูปของประพจน์เงื่อนไข

ตัวอย่าง

จาก “ถ้าฝนตก แล้วถนนเปียก” จงเขียนบทกลับและบทแย้งสลับที่ แล้วบอกว่าอันไหนจริงแน่

วิธีทำ

1.บทกลับ: ถ้าถนนเปียก แล้วฝนตก — อาจเท็จ เพราะรถน้ำอาจฉีดถนน
2.บทแย้งสลับที่: ถ้าถนนไม่เปียก แล้วฝนไม่ตก — จริงเสมอเมื่อประพจน์เดิมจริง

ตอบ บทแย้งสลับที่จริงแน่ · บทกลับไม่จำเป็นต้องจริง

ข้อควรระวัง

การสรุปจากบทกลับเรียกว่า การอ้างเหตุผลบกพร่อง และพบได้ทุกวันในชีวิตจริง — “คนรวยขับรถหรู เขาขับรถหรู เขาจึงรวย” · บทนี้ให้เครื่องมือชี้ว่าผิดตรงไหนได้อย่างชัดเจน

2.4 การอ้างเหตุผล

นิยาม

การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล (Valid argument)

การอ้างที่ ถ้าเหตุทุกข้อเป็นจริง แล้วผลต้องเป็นจริงเสมอ · ความสมเหตุสมผลเป็นเรื่องของรูปแบบ ไม่ใช่เรื่องของเนื้อหาว่าจริงหรือไม่

ชื่อ	เหตุ	ผล	สมเหตุสมผล?
ยืนยันข้อนำ	$p \to q$ และ $p$	$q$	ใช่
ปฏิเสธข้อตาม	$p \to q$ และ $\sim q$	$\sim p$	ใช่
ยืนยันข้อตาม	$p \to q$ และ $q$	$p$	ไม่ใช่
ปฏิเสธข้อนำ	$p \to q$ และ $\sim p$	$\sim q$	ไม่ใช่

รูปแบบการอ้างที่ควรจำ

ตัวอย่าง

“ถ้าสอบผ่าน จะได้ใบประกาศ · เขาไม่ได้ใบประกาศ · ดังนั้นเขาสอบไม่ผ่าน” สมเหตุสมผลหรือไม่

วิธีทำ

1.ให้ $p$ = สอบผ่าน · $q$ = ได้ใบประกาศ
2.เหตุคือ $p \to q$ และ $\sim q$ · ผลคือ $\sim p$
3.ตรงกับรูปแบบปฏิเสธข้อตาม

ตอบ สมเหตุสมผล

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ข้อสรุปที่ “จริง” กับการอ้างที่ “สมเหตุสมผล” เป็นคนละเรื่อง · การอ้างที่สมเหตุสมผลอาจให้ข้อสรุปที่เท็จได้ ถ้าเหตุตั้งต้นเป็นเท็จ · สิ่งที่ตรรกศาสตร์รับประกันคือ โครงสร้างของการเดินเหตุผล ไม่ใช่ความจริงของข้อเท็จจริง

🎯 Key takeaways

ประพจน์ต้องตัดสินได้ว่าจริงหรือเท็จ — คำสั่ง คำถาม และประโยคเปิดไม่ใช่ประพจน์
$p \to q$ เป็นเท็จกรณีเดียวคือ $p$ จริงแต่ $q$ เท็จ
บทแย้งสลับที่ $\sim q \to\sim p$ มีค่าความจริงเท่ากับ $p \to q$ เสมอ แต่บทกลับไม่
ยืนยันข้อนำและปฏิเสธข้อตามสมเหตุสมผล · ยืนยันข้อตามและปฏิเสธข้อนำไม่
สมเหตุสมผลเป็นเรื่องของรูปแบบ ไม่ใช่ความจริงของเนื้อหา

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena