Chapter 1

เซต

Sets

ภาษาแรกของคณิตศาสตร์ ม.ปลาย — วิธีพูดถึง “กลุ่มของสิ่งของ” อย่างแม่นยำ ซึ่งทุกบทหลังจากนี้ตั้งแต่ฟังก์ชันถึงความน่าจะเป็นจะยืมไปใช้

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาพื้นฐาน ม.4
Common Core (US): S-CP
Cambridge: IGCSE / AS Level — Sets and set notation

1.1 เซตและสมาชิก

นิยาม

เซต (Set)

กลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ที่ระบุได้ชัดเจนว่าอะไรอยู่ในกลุ่มและอะไรไม่อยู่ · สิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่า สมาชิก เขียน $a \in A$ เมื่อ $a$ เป็นสมาชิกของ $A$

●
วิธีเขียนเซต
- แบบแจกแจงสมาชิก — $A = {1, 2, 3, 4}$
- แบบบอกเงื่อนไข — $A = {x ∣ x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5}$
- เซตเดียวกันเขียนได้ทั้งสองแบบ เลือกแบบที่สั้นและชัดกว่า
●
กติกาที่ต้องรู้
- ลำดับไม่สำคัญ — ${1, 2}$ กับ ${2, 1}$ คือเซตเดียวกัน
- สมาชิกซ้ำนับครั้งเดียว — ${1, 1, 2}$ คือ ${1, 2}$
- เซตที่ไม่มีสมาชิกเลยเรียกว่า เซตว่าง เขียน $\emptyset$ หรือ ${}$

ข้อควรระวัง

$\emptyset$ กับ ${\emptyset}$ ไม่เหมือนกัน · ตัวแรกคือกล่องเปล่า ตัวหลังคือกล่องที่ข้างในมีกล่องเปล่าอยู่หนึ่งใบ จึงมีสมาชิก 1 ตัว · เป็นจุดที่ข้อสอบชอบถาม

นิยาม

สับเซต (Subset)

$A \subset B$ เมื่อสมาชิกทุกตัวของ $A$ เป็นสมาชิกของ $B$ ด้วย · เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต และทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง

จำนวนสับเซต

เซตที่มีสมาชิก n ตัว มีสับเซตทั้งหมด 2^{n} เซต

เพราะสมาชิกแต่ละตัวเลือกได้สองทาง คืออยู่หรือไม่อยู่ในสับเซตนั้น

1.2 การดำเนินการของเซต

สัญลักษณ์	ชื่อ	ความหมาย
$A \cup B$	ยูเนียน	สมาชิกที่อยู่ใน $A$ หรือ $B$ หรือทั้งสอง
$A \cap B$	อินเตอร์เซกชัน	สมาชิกที่อยู่ทั้งใน $A$ และ $B$
$A - B$	ผลต่าง	สมาชิกที่อยู่ใน $A$ แต่ไม่อยู่ใน $B$
$A^{'}$	คอมพลีเมนต์	สมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ไม่อยู่ใน $A$

สี่การดำเนินการหลัก

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

คำว่า “หรือ” ในคณิตศาสตร์เป็น หรือแบบรวม — $A \cup B$ นับสมาชิกที่อยู่ทั้งสองเซตด้วย ต่างจากภาษาพูดที่ “กาแฟหรือชา” มักหมายถึงเลือกอย่างเดียว · ความต่างนี้ทำให้ตอบผิดได้ทั้งข้อ

ตัวอย่าง

ให้ $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , $A = {1, 2, 3}$ , $B = {3, 4, 5}$ จงหา $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A - B$ และ $A^{'}$

วิธีทำ

1. $A \cup B$ รวมทุกตัวที่อยู่ในเซตใดเซตหนึ่ง: ${1, 2, 3, 4, 5}$
2. $A \cap B$ เอาเฉพาะตัวที่อยู่ทั้งคู่: ${3}$
3. $A - B$ เอาตัวใน $A$ ที่ไม่อยู่ใน $B$ : ${1, 2}$
4. $A^{'}$ เอาตัวใน $U$ ที่ไม่อยู่ใน $A$ : ${4, 5, 6}$

ตอบ ${1, 2, 3, 4, 5}$ · ${3}$ · ${1, 2}$ · ${4, 5, 6}$

กฎเดอมอร์แกน

(A \cup B)^{'} = A^{'} \cap B^{'} (A \cap B)^{'} = A^{'} \cup B^{'}

คอมพลีเมนต์สลับ $\cup$ กับ $\cap$ เสมอ — จะกลับมาอีกครั้งในบทตรรกศาสตร์

1.3 แผนภาพเวนน์และการนับจำนวนสมาชิก

จำนวนสมาชิกของยูเนียน

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

ต้องลบส่วนที่ซ้อนกันออก เพราะถูกนับไปสองครั้ง

สามเซต

n (A \cup B \cup C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A \cap B) - n (A \cap C) - n (B \cap C) + n (A \cap B \cap C)

บวก ลบ บวก สลับกันไป เรียกว่าหลักการรวมและการตัดออก

ตัวอย่าง

นักเรียน 50 คน ชอบคณิต 28 คน ชอบวิทย์ 32 คน ชอบทั้งสองวิชา 15 คน จงหาจำนวนคนที่ไม่ชอบทั้งสองวิชา

วิธีทำ

1. $n (A \cup B) = 28 + 32 - 15 = 45$
2.คนที่ไม่ชอบทั้งสองวิชาคือส่วนที่เหลือจากทั้งหมด
3. $50 - 45 = 5$

ตอบ 5 คน

เคล็ดลับ

โจทย์แผนภาพเวนน์ให้ เริ่มเติมจากตรงกลางออกมา เสมอ — ใส่จำนวนของส่วนที่ซ้อนกันมากที่สุดก่อน แล้วค่อยไล่ออกมาชั้นนอก · เริ่มจากข้างนอกจะนับซ้ำโดยไม่รู้ตัว

1.4 สมบัติที่ใช้บ่อยและข้อควรระวัง

●
สมบัติที่จำไว้แล้วประหยัดเวลา
- $A \cup \emptyset = A$ และ $A \cap \emptyset = \emptyset$
- $A \cup A^{'} = U$ และ $A \cap A^{'} = \emptyset$
- ถ้า $A \subset B$ แล้ว $A \cup B = B$ และ $A \cap B = A$
●
ความสับสนที่พบบ่อย
- $\in$ ใช้กับ สมาชิกกับเซต · $\subset$ ใช้กับ เซตกับเซต
- $2 \in {1, 2, 3}$ ถูก · ${2} \subset {1, 2, 3}$ ถูก · $2 \subset {1, 2, 3}$ ผิด

ตัวอย่าง

ให้ $A = {1, {2}, 3}$ จงบอกว่า ${2} \in A$ และ ${2} \subset A$ ข้อใดจริง

วิธีทำ

1. ${2}$ ถูกเขียนเป็นสมาชิกตัวหนึ่งของ $A$ โดยตรง จึง ${2} \in A$ เป็นจริง
2. ${2} \subset A$ จะจริงก็ต่อเมื่อ $2$ เป็นสมาชิกของ $A$ ซึ่ง $A$ มี $1, {2}, 3$ ไม่มี $2$ เดี่ยว ๆ

ตอบ ${2} \in A$ จริง · ${2} \subset A$ เป็นเท็จ

ข้อควรระวัง

โจทย์ที่มีเซตซ้อนเซตแบบตัวอย่างข้างบนเป็นข้อที่พลาดกันมากที่สุดในบทนี้ · วิธีกันพลาดคือ นับสมาชิกของเซตออกมาเป็นรายตัวก่อน แล้วค่อยตอบว่าอะไรอยู่หรือไม่อยู่

🎯 Key takeaways

เซตไม่สนใจลำดับและไม่นับสมาชิกซ้ำ · $\emptyset$ ต่างจาก ${\emptyset}$
เซตที่มีสมาชิก $n$ ตัว มีสับเซต $2^{n}$ เซต
$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ — ต้องลบส่วนที่นับซ้ำออก
กฎเดอมอร์แกน: คอมพลีเมนต์สลับ $\cup$ กับ $\cap$
$\in$ ใช้ระหว่างสมาชิกกับเซต · $\subset$ ใช้ระหว่างเซตกับเซต

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena