Chapter 4

ความคล้าย

Similarity

รูปที่มีรูปร่างเหมือนกันแต่ขนาดต่างกัน — มุมเท่ากันทุกคู่และด้านเป็นอัตราส่วนเดียวกัน ใช้วัดสิ่งที่เอื้อมไม่ถึงอย่างความสูงของตึกได้จริง

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตเล่ม 1 บทที่ 4
Common Core (US): 8.G, G-SRT
Cambridge: Lower Secondary Stage 9 — Geometrical reasoning

4.1 ความคล้ายคืออะไร

นิยาม

รูปคล้าย (Similar figures)

รูปสองรูปที่มีมุมสมนัยเท่ากันทุกคู่ และ ด้านสมนัยมีอัตราส่วนเท่ากันทุกคู่ · เขียนแทนด้วย $△ A B C \sim △ D E F$

	เท่ากันทุกประการ	คล้ายกัน
มุมสมนัย	เท่ากัน	เท่ากัน
ด้านสมนัย	เท่ากัน	เป็นอัตราส่วนคงที่
อัตราส่วนความยาว	$1 : 1$	$k : 1$ ค่าใดก็ได้
สัญลักษณ์	$≅$	$\sim$

เท่ากันทุกประการ กับ คล้ายกัน ต่างกันตรงไหน

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

เท่ากันทุกประการเป็นกรณีพิเศษของความคล้าย คือกรณีที่อัตราส่วนเป็น 1 พอดี · รูปที่เท่ากันทุกประการจึงคล้ายกันเสมอ แต่รูปที่คล้ายกันไม่จำเป็นต้องเท่ากันทุกประการ

นิยาม

อัตราส่วนความคล้าย (Scale factor)

ตัวเลข $k$ ที่คูณด้านของรูปเล็กแล้วได้ด้านของรูปใหญ่ · ถ้า $k > 1$ คือการขยาย ถ้า $0 < k < 1$ คือการย่อ

4.2 เงื่อนไขความคล้ายของรูปสามเหลี่ยม

ชื่อย่อ	เงื่อนไข
ม.ม. (AA)	มุมสองคู่เท่ากัน — คู่ที่สามเท่ากันเองอัตโนมัติ
ด.ด.ด. (SSS)	ด้านสามคู่มีอัตราส่วนเท่ากัน
ด.ม.ด. (SAS)	ด้านสองคู่มีอัตราส่วนเท่ากัน และมุมระหว่างด้านคู่นั้นเท่ากัน

ตรวจแค่สองหรือสามอย่างก็พอ

เคล็ดลับ

ม.ม. เป็นเงื่อนไขที่ใช้บ่อยที่สุด เพราะหาได้ง่ายที่สุดในรูป — มุมร่วม มุมฉาก และมุมแย้งจากเส้นขนาน ล้วนเป็นแหล่งของมุมที่เท่ากันที่มีอยู่แล้วในรูป

ข้อควรระวัง

ม.ม.ม. ใช้พิสูจน์ความคล้ายได้ แต่ใช้พิสูจน์ความเท่ากันทุกประการไม่ได้ · เป็นจุดที่นักเรียนสับสนบ่อยเพราะเงื่อนไขของสองบทนี้หน้าตาคล้ายกันแต่ไม่ใช่ชุดเดียวกัน

ตัวอย่าง

ใน $△ A B C$ มี $D E$ ขนานกับ $B C$ โดย $D$ อยู่บน $A B$ และ $E$ อยู่บน $A C$ จงแสดงว่า $△ A D E \sim △ A B C$

วิธีทำ

1. $∠ A$ เป็นมุมร่วมของทั้งสองรูป
2. $∠ A D E = ∠ A B C$ เพราะเป็นมุมที่ตำแหน่งเดียวกันจากเส้นขนาน
3.มีมุมเท่ากันสองคู่แล้ว

ตอบ $△ A D E \sim △ A B C$ ตามเงื่อนไข ม.ม.

4.3 อัตราส่วนของด้าน พื้นที่ และปริมาตร

สามอัตราส่วนที่ไม่เท่ากัน

ด้าน = k พื้นที่ = k^{2} ปริมาตร = k^{3}

ถ้าด้านเพิ่มเป็น $k$ เท่า พื้นที่เพิ่มเป็น $k^{2}$ เท่า และปริมาตรเพิ่มเป็น $k^{3}$ เท่า

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมพื้นที่ไม่ได้เพิ่มเท่ากับด้าน? เพราะพื้นที่คือด้านคูณด้าน · ขยายด้านเป็น 2 เท่า ทั้งความกว้างและความยาวโตขึ้น 2 เท่า พื้นที่จึงโต $2 \times 2 = 4$ เท่า · ปริมาตรมีสามมิติ จึงโต $2^{3} = 8$ เท่า

ตัวอย่าง 1

รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน มีด้านสมนัยยาว 4 ซม. และ 10 ซม. ถ้ารูปเล็กมีพื้นที่ 12 ตร.ซม. รูปใหญ่มีพื้นที่เท่าไร

วิธีทำ

1.อัตราส่วนของด้าน $k = \frac{10}{4} = 2.5$
2.อัตราส่วนของพื้นที่ $= k^{2} = 6.25$
3.พื้นที่รูปใหญ่ $= 12 \times 6.25$

ตอบ $75$ ตารางเซนติเมตร

ตัวอย่าง 2

โมเดลเรือย่อส่วนด้วยอัตราส่วน $1 : 20$ ถ้าโมเดลจุน้ำได้ 2 ลิตร เรือจริงจุได้เท่าไร

วิธีทำ

1.ปริมาตรเป็นสัดส่วนกับ $k^{3}$ โดย $k = 20$
2. $2 0^{3} = 8, 000$
3. $2 \times 8, 000 = 16, 000$ ลิตร

ตอบ $16, 000$ ลิตร

ข้อควรระวัง

โจทย์ประเภทนี้ตอบผิดกันมาก เพราะเอาอัตราส่วนของด้านไปคูณพื้นที่ตรง ๆ · พื้นที่ต้องยกกำลังสอง ปริมาตรต้องยกกำลังสาม ทุกครั้งโดยไม่มีข้อยกเว้น

4.4 การนำความคล้ายไปใช้

วัดความสูงด้วยเงา

1วัดความยาวเงาของวัตถุที่ต้องการรู้ความสูง
2วัดความสูงและความยาวเงาของวัตถุที่วัดได้ เช่นไม้เมตรหรือตัวเอง ในเวลาเดียวกัน
3แสงอาทิตย์ทำมุมเท่ากันกับทั้งสองวัตถุ จึงได้สามเหลี่ยมคล้ายกัน
4ตั้งสัดส่วน แล้วแก้หาความสูงที่ต้องการ

ตัวอย่าง

เสาไฟทอดเงายาว 12 เมตร ขณะเดียวกันไม้สูง 1.5 เมตร ทอดเงายาว 2 เมตร จงหาความสูงของเสาไฟ

วิธีทำ

1.สามเหลี่ยมทั้งสองคล้ายกันตามเงื่อนไข ม.ม. (มุมฉากและมุมของแสงอาทิตย์)
2. $\frac{h}{12} = \frac{1.5}{2}$
3. $h = 12 \times 0.75$

ตอบ เสาไฟสูง $9$ เมตร

●
ที่อื่น ๆ ที่ความคล้ายทำงานอยู่
- แผนที่และมาตราส่วน — ระยะบนแผนที่กับระยะจริงคือรูปคล้าย
- แบบก่อสร้างและโมเดลจำลอง
- การย่อขยายภาพถ่ายโดยไม่ให้ภาพบิดเบี้ยว

เคล็ดลับ

ตั้งสัดส่วนโดยเขียนให้ ตำแหน่งตรงกัน เสมอ เช่นความสูงอยู่บนทั้งสองข้าง และเงาอยู่ล่างทั้งสองข้าง · สลับตำแหน่งข้างเดียวคือคำตอบผิดทันที

🎯 Key takeaways

คล้ายกัน = มุมเท่ากันทุกคู่ และด้านเป็นอัตราส่วนเดียวกันทุกคู่
เงื่อนไข ม.ม. ใช้บ่อยที่สุด เพราะมุมร่วมและมุมจากเส้นขนานหาได้ง่ายในรูป
ม.ม.ม. พิสูจน์ความคล้ายได้ แต่พิสูจน์ความเท่ากันทุกประการไม่ได้
ด้านเป็น $k$ เท่า → พื้นที่เป็น $k^{2}$ เท่า → ปริมาตรเป็น $k^{3}$ เท่า
ตั้งสัดส่วนให้ตำแหน่งของปริมาณตรงกันทั้งสองข้างเสมอ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena