Chapter 5

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

Graphs of Quadratic Functions

พาราโบลาคือหน้าตาของสมการกำลังสองในบทที่ 3 · เรียนวิธีอ่านจุดยอด แกนสมมาตร และทิศทางการเปิด จากสมการโดยตรง

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 1 บทที่ 5
Common Core (US): F-IF, F-BF
Cambridge: Lower Secondary Stage 9 — Graphs

5.1 รูปร่างของพาราโบลา

นิยาม

ฟังก์ชันกำลังสอง (Quadratic function)

ฟังก์ชันในรูป $y = a x^{2} + b x + c$ เมื่อ $a \neq = 0$ · กราฟของมันเรียกว่า พาราโบลา

●
อ่านจากค่า $a$ ได้ทันทีสองอย่าง
- $a > 0$ → พาราโบลา เปิดขึ้น และมีจุดต่ำสุด
- $a < 0$ → พาราโบลา เปิดลง และมีจุดสูงสุด
- $∣ a ∣$ มาก → กราฟแคบและชัน · $∣ a ∣$ น้อย → กราฟกว้างและแบน
●
อ่านจากค่า $c$ ได้หนึ่งอย่าง
- $c$ คือค่า $y$ ที่กราฟตัดแกน $y$ เพราะแทน $x = 0$ แล้วเหลือแค่ $c$

เคล็ดลับ

จำด้วยภาพ: $a$ บวกคือหน้ายิ้ม $a$ ลบคือหน้าคว่ำ · เป็นสิ่งแรกที่ควรเขียนลงกระดาษก่อนคำนวณอะไรทั้งสิ้น เพราะช่วยตรวจว่าคำตอบทีหลังสมเหตุสมผลไหม

5.2 จุดยอดและแกนสมมาตร

รูปจุดยอด

y = a (x - h)^{2} + k มีจุดยอดที่ (h, k)

ระวังเครื่องหมาย: $y = (x - 3)^{2} + 2$ มีจุดยอดที่ $(3, 2)$ ไม่ใช่ $(- 3, 2)$

หาจุดยอดจากรูปทั่วไป

h = - \frac{b}{2 a} k = ค่าของ y เมื่อแทน x = h

แกนสมมาตรคือเส้นตรง $x = h$

ตัวอย่าง 1

จงหาจุดยอดและแกนสมมาตรของ $y = 2 x^{2} - 8 x + 5$

วิธีทำ

1. $a = 2$ , $b = - 8$
2. $h = - \frac{- 8}{2 ( 2 )} = \frac{8}{4} = 2$
3.แทน $x = 2$ : $k = 2 (4) - 8 (2) + 5 = 8 - 16 + 5 = - 3$

ตอบ จุดยอด $(2, - 3)$ · แกนสมมาตรคือ $x = 2$

ตัวอย่าง 2

จงเขียน $y = x^{2} + 6 x + 11$ ในรูปจุดยอด

วิธีทำ

1.ใช้การทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์: นำ 6 หารสองได้ 3 ยกกำลังสองได้ 9
2. $y = (x^{2} + 6 x + 9) + 11 - 9$
3. $y = (x + 3)^{2} + 2$

ตอบ $y = (x + 3)^{2} + 2$ จุดยอดอยู่ที่ $(- 3, 2)$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

การทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ในบทที่ 3 กับการหารูปจุดยอดในบทนี้ คือ การคำนวณอันเดียวกัน ต่างกันแค่จุดประสงค์ — บทที่ 3 ใช้หาคำตอบ บทนี้ใช้หาตำแหน่งของกราฟ

5.3 จุดตัดแกน $x$ กับคำตอบของสมการ

จุดที่กราฟตัดแกน $x$ คือจุดที่ $y = 0$ ซึ่งก็คือคำตอบของสมการ $a x^{2} + b x + c = 0$ พอดี · สมการกับกราฟจึงเป็นเรื่องเดียวกันมองคนละมุม

$b^{2} - 4 a c$	จำนวนคำตอบ	กราฟกับแกน $x$
มากกว่า 0	สอง	ตัดสองจุด
เท่ากับ 0	หนึ่ง	สัมผัสจุดเดียวที่จุดยอด
น้อยกว่า 0	ไม่มีคำตอบจริง	ลอยอยู่เหนือหรือใต้แกนทั้งเส้น

ดิสคริมิแนนต์บอกรูปร่างกราฟ

ตัวอย่าง

กราฟ $y = x^{2} - 4 x + 7$ ตัดแกน $x$ หรือไม่

วิธีทำ

1. $b^{2} - 4 a c = 16 - 28 = - 12$
2.ค่าติดลบ แปลว่าไม่มีคำตอบจริง
3. $a = 1 > 0$ กราฟเปิดขึ้น จุดยอดจึงอยู่เหนือแกน $x$ ทั้งเส้น

ตอบ ไม่ตัดแกน $x$ · กราฟอยู่เหนือแกน $x$ ทั้งหมด

เคล็ดลับ

คำนวณดิสคริมิแนนต์ก่อนวาดกราฟทุกครั้ง · รู้ล่วงหน้าว่ากราฟตัดแกนกี่จุด ทำให้จับพลาดได้ทันทีถ้าวาดออกมาแล้วไม่ตรงกัน

5.4 การเขียนกราฟและการนำไปใช้

เขียนกราฟพาราโบลาอย่างเป็นระบบ

1ดู $a$ เพื่อรู้ว่าเปิดขึ้นหรือเปิดลง
2หาจุดยอดด้วย $h = - \frac{b}{2 a}$ แล้วแทนหา $k$
3หาจุดตัดแกน $y$ จากค่า $c$
4หาจุดตัดแกน $x$ ถ้ามี โดยแก้ $a x^{2} + b x + c = 0$
5ใช้แกนสมมาตรสะท้อนจุดที่มีอยู่ไปอีกข้าง แล้วลากเส้นโค้งเรียบ

ตัวอย่าง

ลูกบอลถูกโยนขึ้น ความสูง $h$ เมตรที่เวลา $t$ วินาที คือ $h = - 5 t^{2} + 20 t$ จงหาความสูงมากที่สุดและเวลาที่ตกถึงพื้น

วิธีทำ

1. $a = - 5 < 0$ กราฟเปิดลง จึงมีจุดสูงสุด
2. $t = - \frac{20}{2 ( - 5 )} = 2$ วินาที
3. $h = - 5 (4) + 20 (2) = - 20 + 40 = 20$ เมตร
4.ตกถึงพื้นเมื่อ $h = 0$ : $- 5 t^{2} + 20 t = 0 \Rightarrow - 5 t (t - 4) = 0$
5. $t = 0$ คือตอนเริ่มโยน จึงเอา $t = 4$

ตอบ สูงสุด $20$ เมตรที่เวลา $2$ วินาที · ตกถึงพื้นที่เวลา $4$ วินาที

ข้อควรระวัง

คำถาม “สูงสุดเท่าไร” ตอบด้วยค่า $k$ ส่วนคำถาม “เมื่อไร” ตอบด้วยค่า $h$ · สลับสองค่านี้เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในโจทย์ประยุกต์ · อ่านให้ชัดว่าโจทย์ถามค่าบนแกนไหน

🎯 Key takeaways

$a > 0$ เปิดขึ้นมีจุดต่ำสุด · $a < 0$ เปิดลงมีจุดสูงสุด · $c$ คือจุดตัดแกน $y$
รูปจุดยอด $y = a (x - h)^{2} + k$ อ่านจุดยอด $(h, k)$ ได้ทันที แต่ระวังเครื่องหมายของ $h$
$h = - \frac{b}{2 a}$ และแกนสมมาตรคือเส้น $x = h$
จุดตัดแกน $x$ คือคำตอบของสมการกำลังสอง · ดิสคริมิแนนต์บอกว่ามีกี่จุด
โจทย์ประยุกต์: ค่ามากที่สุดหรือน้อยที่สุดอยู่ที่ $k$ ส่วนเวลาหรือตำแหน่งอยู่ที่ $h$

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena