Chapter 3

สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

Quadratic Equations in One Variable

แก้สมการรูป $a x^{2} + b x + c = 0$ ด้วยสามวิธี — แยกตัวประกอบ ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และสูตร พร้อมรู้ว่าเมื่อไรควรใช้วิธีไหน

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 1 บทที่ 3
Common Core (US): A-REI, A-SSE
Cambridge: Lower Secondary Stage 9 — Equations and inequalities

3.1 แก้ด้วยการแยกตัวประกอบ

สมบัติที่ทำให้วิธีนี้ใช้ได้

A B = 0 ⟹ A = 0 หรือ B = 0

ผลคูณเป็นศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อมีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์

ข้อควรระวัง

สมบัตินี้ใช้ได้กับ ศูนย์เท่านั้น · จาก $A B = 6$ สรุปว่า $A = 6$ หรือ $B = 6$ ไม่ได้ · ดังนั้นต้องย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวให้เหลือ $= 0$ ก่อนแยกตัวประกอบเสมอ

แก้ด้วยการแยกตัวประกอบ

1ย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียวให้อีกข้างเป็นศูนย์
2แยกตัวประกอบด้านซ้าย
3ให้แต่ละตัวประกอบเท่ากับศูนย์
4แก้สมการเชิงเส้นที่ได้แต่ละอัน
5แทนคำตอบกลับในสมการเดิมเพื่อตรวจ

ตัวอย่าง 1

จงแก้สมการ $x^{2} + 5 x = 14$

วิธีทำ

1.ย้ายให้เป็นศูนย์: $x^{2} + 5 x - 14 = 0$
2.หาคู่ที่คูณได้ $- 14$ และบวกได้ 5 คือ 7 กับ $- 2$
3. $(x + 7) (x - 2) = 0$
4. $x + 7 = 0$ ได้ $x = - 7$ · $x - 2 = 0$ ได้ $x = 2$

ตอบ $x = - 7$ หรือ $x = 2$

ตัวอย่าง 2

จงแก้สมการ $3 x^{2} = 12 x$

วิธีทำ

1.ย้ายให้เป็นศูนย์: $3 x^{2} - 12 x = 0$
2.ดึงตัวประกอบร่วม: $3 x (x - 4) = 0$
3. $3 x = 0$ ได้ $x = 0$ · $x - 4 = 0$ ได้ $x = 4$

ตอบ $x = 0$ หรือ $x = 4$

ข้อควรระวัง

ในตัวอย่างที่สอง ถ้าหารสองข้างด้วย $x$ ตั้งแต่แรก จะได้ $3 x = 12$ และเหลือคำตอบเดียวคือ 4 · คำตอบ $x = 0$ หายไป เพราะการหารด้วยตัวแปรคือการสมมติว่ามันไม่เป็นศูนย์ · ห้ามหารด้วยตัวแปร ให้ดึงตัวประกอบร่วมแทน

3.2 การทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

เมื่อแยกตัวประกอบไม่ลงตัว ยังแก้ได้เสมอด้วยการ ประกอบร่างกำลังสองสมบูรณ์ขึ้นมาเอง แล้วถอดราก

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

1จัดให้สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ เป็น 1 โดยหารทั้งสมการถ้าจำเป็น
2ย้ายค่าคงตัวไปอีกข้าง
3นำสัมประสิทธิ์ของ $x$ มาหารสอง แล้วยกกำลังสอง
4บวกค่าที่ได้ทั้งสองข้าง
5ข้างซ้ายจะกลายเป็น $(x + \frac{b}{2})^{2}$ แล้วถอดรากทั้งสองข้าง โดยอย่าลืมเครื่องหมาย $\pm$

ตัวอย่าง

จงแก้สมการ $x^{2} + 6 x - 5 = 0$

วิธีทำ

1.ย้ายค่าคงตัว: $x^{2} + 6 x = 5$
2.สัมประสิทธิ์ของ $x$ คือ 6 · หารสองได้ 3 · ยกกำลังสองได้ 9
3.บวก 9 ทั้งสองข้าง: $x^{2} + 6 x + 9 = 14$
4. $(x + 3)^{2} = 14$
5. $x + 3 = \pm 14$

ตอบ $x = - 3 + 14$ หรือ $x = - 3 - 14$

ข้อควรระวัง

ถอดรากแล้วต้องมี $\pm$ เสมอ · ลืมเครื่องหมายลบคือเสียคำตอบไปครึ่งหนึ่ง และเป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในหัวข้อนี้

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

วิธีนี้ดูยุ่งกว่าการแยกตัวประกอบ แต่ต้องเรียนเพราะ สูตรกำลังสองในหัวข้อถัดไปเกิดจากวิธีนี้พอดี และรูป $(x - h)^{2} + k$ ที่ได้คือรูปที่ใช้อ่านจุดยอดของกราฟในบทที่ 5

3.3 สูตรกำลังสอง

สูตรที่ใช้ได้กับทุกสมการกำลังสอง

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

ใช้กับ $a x^{2} + b x + c = 0$ เมื่อ $a \neq = 0$

นิยาม

ดิสคริมิแนนต์ (Discriminant)

ค่า $b^{2} - 4 a c$ ใต้เครื่องหมายราก · บอกจำนวนคำตอบได้ โดยไม่ต้องแก้สมการ

$b^{2} - 4 a c$	จำนวนคำตอบจริง	ความหมายบนกราฟ
มากกว่า 0	สองคำตอบต่างกัน	กราฟตัดแกน $x$ สองจุด
เท่ากับ 0	หนึ่งคำตอบซ้ำ	กราฟสัมผัสแกน $x$ จุดเดียว
น้อยกว่า 0	ไม่มีคำตอบจริง	กราฟไม่ตัดแกน $x$

อ่านจำนวนคำตอบจากดิสคริมิแนนต์

ตัวอย่าง

จงแก้สมการ $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ ด้วยสูตร

วิธีทำ

1. $a = 2$ , $b = - 7$ , $c = 3$
2. $b^{2} - 4 a c = 49 - 24 = 25$
3. $x = \frac{7 \pm 25}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$
4. $x = \frac{12}{4} = 3$ หรือ $x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

ตอบ $x = 3$ หรือ $x = \frac{1}{2}$

ข้อควรระวัง

เครื่องหมายของ $b$ ต้องยกมาทั้งเครื่องหมาย · จาก $- 7$ ตัว $- b$ คือ $+ 7$ ไม่ใช่ $- 7$ · เขียน $a$ , $b$ , $c$ พร้อมเครื่องหมายลงกระดาษก่อนแทนสูตรทุกครั้ง จะลดข้อผิดพลาดได้มาก

3.4 โจทย์ปัญหาสมการกำลังสอง

●
สถานการณ์ที่นำไปสู่สมการกำลังสอง
- พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมเมื่อด้านทั้งสองสัมพันธ์กัน
- ผลคูณของจำนวนสองจำนวนที่ต่างกันคงที่
- การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกโยนขึ้น ซึ่งความสูงเป็นฟังก์ชันกำลังสองของเวลา

ตัวอย่าง

สวนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาวมากกว่าความกว้าง 3 เมตร และมีพื้นที่ 70 ตารางเมตร จงหาความกว้าง

วิธีทำ

1.ให้ความกว้างเป็น $x$ เมตร ความยาวจึงเป็น $x + 3$
2. $x (x + 3) = 70$
3. $x^{2} + 3 x - 70 = 0$
4.หาคู่ที่คูณได้ $- 70$ บวกได้ 3 คือ 10 กับ $- 7$ : $(x + 10) (x - 7) = 0$
5.ได้ $x = - 10$ หรือ $x = 7$ · ความกว้างติดลบไม่ได้

ตอบ ความกว้าง 7 เมตร

เคล็ดลับ

สมการกำลังสองจากโจทย์ปัญหามักได้สองคำตอบ แต่ บริบทตัดทิ้งไปหนึ่ง เกือบทุกครั้ง — ความยาว เวลา และจำนวนคนติดลบไม่ได้ · เขียนเหตุผลที่ตัดทิ้งลงไปด้วย ข้อสอบให้คะแนนตรงนั้น

🎯 Key takeaways

$A B = 0$ แปลว่าตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ — ต้องจัดสมการให้เท่ากับศูนย์ก่อนเสมอ
ห้ามหารสองข้างด้วยตัวแปร เพราะจะทำให้คำตอบ $x = 0$ หายไป
ถอดรากต้องใส่ $\pm$ ทุกครั้ง
สูตร $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ ใช้ได้กับทุกสมการกำลังสอง
ดิสคริมิแนนต์ $b^{2} - 4 a c$ บอกจำนวนคำตอบได้โดยไม่ต้องแก้สมการ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena