Chapter 6

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

Systems of Linear Equations in Two Variables

สมการสองสมการที่ต้องเป็นจริงพร้อมกัน · แก้ได้สามทาง คือกราฟ แทนค่า และกำจัดตัวแปร พร้อมรู้ว่าเมื่อไรระบบไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบไม่จำกัด

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 2 บทที่ 1
Common Core (US): 8.EE, A-REI
Cambridge: Lower Secondary Stage 9 — Equations and inequalities

6.1 ระบบสมการหมายถึงอะไร

นิยาม

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

สมการเชิงเส้นตั้งแต่สองสมการที่มีตัวแปรร่วมกัน · คำตอบ คือคู่อันดับ $(x, y)$ ที่ทำให้ทุกสมการเป็นจริงพร้อมกัน

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ในทางกราฟ สมการเชิงเส้นแต่ละสมการคือเส้นตรงหนึ่งเส้น · คำตอบของระบบจึงคือ จุดตัดของเส้นตรงสองเส้น · เมื่อคิดแบบนี้แล้ว จำนวนคำตอบที่เป็นไปได้จะเห็นชัดทันที

ลักษณะเส้นตรง	จำนวนคำตอบ	สังเกตจากสมการ
ตัดกันหนึ่งจุด	คำตอบเดียว	ความชันต่างกัน
ขนานกันไม่ตัดกัน	ไม่มีคำตอบ	ความชันเท่ากัน จุดตัดแกน $y$ ต่างกัน
ทับกันสนิท	คำตอบไม่จำกัด	สมการหนึ่งเป็นพหุคูณของอีกสมการ

จำนวนคำตอบที่เป็นไปได้

6.2 วิธีแทนค่า

วิธีแทนค่า

1เลือกสมการที่จัดตัวแปรตัวหนึ่งให้อยู่โดดเดี่ยวได้ง่ายที่สุด
2จัดสมการนั้นให้อยู่ในรูป $y = \dots$ หรือ $x = \dots$
3แทนนิพจน์ที่ได้ลงในอีกสมการหนึ่ง จะเหลือตัวแปรเดียว
4แก้หาค่าตัวแปรนั้น
5แทนกลับเพื่อหาตัวแปรที่เหลือ แล้วตรวจกับสมการทั้งสอง

ตัวอย่าง

จงแก้ระบบ $y = 2 x + 1$ และ $3 x + y = 11$

วิธีทำ

1.สมการแรกจัดรูปให้แล้ว จึงแทนลงสมการที่สองได้เลย
2. $3 x + (2 x + 1) = 11$
3. $5 x + 1 = 11$ จึงได้ $x = 2$
4.แทนกลับ: $y = 2 (2) + 1 = 5$
5.ตรวจ: $3 (2) + 5 = 11$ ถูกต้อง

ตอบ $(x, y) = (2, 5)$

เคล็ดลับ

วิธีแทนค่าเหมาะที่สุดเมื่อมีสมการหนึ่งที่ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็น 1 อยู่แล้ว · ถ้าไม่มี ให้ใช้วิธีกำจัดตัวแปรแทน จะเจอเศษส่วนน้อยกว่ามาก

6.3 วิธีกำจัดตัวแปร

วิธีกำจัดตัวแปร

1จัดทั้งสองสมการให้อยู่ในรูป $a x + b y = c$
2เลือกตัวแปรที่จะกำจัด แล้วคูณสมการให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปรนั้นเท่ากันหรือตรงข้ามกัน
3บวกหรือลบสองสมการเพื่อกำจัดตัวแปรนั้นทิ้ง
4แก้หาตัวแปรที่เหลือ แล้วแทนกลับ

ตัวอย่าง 1

จงแก้ระบบ $2 x + 3 y = 12$ และ $4 x - 3 y = 6$

วิธีทำ

1.สัมประสิทธิ์ของ $y$ เป็น $+ 3$ กับ $- 3$ ตรงข้ามกันพอดี
2.บวกสองสมการ: $6 x = 18$
3. $x = 3$
4.แทนกลับในสมการแรก: $6 + 3 y = 12$ ได้ $y = 2$

ตอบ $(x, y) = (3, 2)$

ตัวอย่าง 2

จงแก้ระบบ $3 x + 2 y = 16$ และ $5 x - 4 y = - 10$

วิธีทำ

1.สัมประสิทธิ์ของ $y$ คือ $2$ กับ $- 4$ ยังไม่ตรงข้ามกันพอดี
2.คูณสมการแรกด้วย 2 ทุกพจน์: $6 x + 4 y = 32$
3.บวกกับสมการที่สอง: $11 x = 22$ จึงได้ $x = 2$
4.แทนกลับในสมการแรก: $3 (2) + 2 y = 16$ ได้ $2 y = 10$ จึง $y = 5$
5.ตรวจกับสมการที่สอง: $5 (2) - 4 (5) = - 10$ ถูกต้อง

ตอบ $(x, y) = (2, 5)$

ข้อควรระวัง

เวลาคูณสมการ ต้องคูณ ทุกพจน์ รวมทั้งฝั่งขวาของเครื่องหมายเท่ากับ · ลืมคูณฝั่งขวาคือความผิดพลาดที่พบมากที่สุดในวิธีนี้ และคำตอบจะผิดโดยไม่มีสัญญาณเตือน

6.4 โจทย์ปัญหาระบบสมการ

●
สัญญาณว่าโจทย์ต้องใช้สองตัวแปร
- มีสิ่งที่ไม่รู้สองอย่าง เช่นราคาสินค้าสองชนิด
- โจทย์ให้ข้อมูลสองชุด เช่นจำนวนรวมกับราคารวม
- ปัญหาส่วนผสม อายุ หรือความเร็วที่มีสองสถานการณ์

ตัวอย่าง

ซื้อปากกา 3 ด้ามกับสมุด 2 เล่ม ราคา 130 บาท · ปากกา 5 ด้ามกับสมุด 4 เล่ม ราคา 240 บาท จงหาราคาต่อชิ้นของแต่ละอย่าง

วิธีทำ

1.ให้ $x$ เป็นราคาปากกา และ $y$ เป็นราคาสมุด
2. $3 x + 2 y = 130$ และ $5 x + 4 y = 240$
3.คูณสมการแรกด้วย 2: $6 x + 4 y = 260$
4.ลบสมการที่สองออก: $x = 20$
5.แทนกลับ: $3 (20) + 2 y = 130$ ได้ $2 y = 70$ จึง $y = 35$

ตอบ ปากกาด้ามละ 20 บาท · สมุดเล่มละ 35 บาท

เคล็ดลับ

เขียนนิยามตัวแปรพร้อมหน่วยไว้บนสุดของกระดาษคำตอบเสมอ เช่น “ให้ $x$ = ราคาปากกา (บาทต่อด้าม)” · ข้อสอบให้คะแนนขั้นนี้ และตัวเราเองก็จะไม่หลงว่าตัวไหนคืออะไรตอนแทนกลับ

🎯 Key takeaways

คำตอบของระบบคือจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น
ความชันต่างกันมีคำตอบเดียว · ขนานกันไม่มีคำตอบ · ทับกันมีคำตอบไม่จำกัด
วิธีแทนค่าเหมาะเมื่อมีตัวแปรที่สัมประสิทธิ์เป็น 1 อยู่แล้ว
วิธีกำจัดตัวแปรต้องคูณทุกพจน์ รวมทั้งฝั่งขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
โจทย์ปัญหาต้องนิยามตัวแปรพร้อมหน่วยก่อนตั้งสมการเสมอ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena