Chapter 2

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง

Factorising Higher-Degree Polynomials

ต่อจากบทที่ 11 ของ ม.2 ไปสู่ดีกรีสามขึ้นไป ด้วยสูตรผลบวกและผลต่างกำลังสาม และทฤษฎีบทเศษเหลือที่ใช้หาตัวประกอบโดยไม่ต้องเดา

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 1 บทที่ 2
Common Core (US): A-SSE, A-APR
Cambridge: Lower Secondary Stage 9 — Expressions and formulae

2.1 ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

สองสูตรที่ต้องจำ

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

ต่างจากกำลังสองตรงที่ ผลบวกของกำลังสามแยกตัวประกอบได้ ในขณะที่ $a^{2} + b^{2}$ แยกไม่ได้

เคล็ดลับ

จำเครื่องหมายด้วยกฎ SOAP: เครื่องหมายในวงเล็บแรก Same เหมือนโจทย์ · เครื่องหมายกลางของวงเล็บหลัง Opposite ตรงข้าม · เครื่องหมายสุดท้าย Always Positive บวกเสมอ

ตัวอย่าง 1

จงแยกตัวประกอบ $x^{3} + 27$

วิธีทำ

1. $27 = 3^{3}$ จึงเข้ารูป $a^{3} + b^{3}$ โดย $a = x$ , $b = 3$
2. $= (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$

ตอบ $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$

ตัวอย่าง 2

จงแยกตัวประกอบ $8 y^{3} - 125$

วิธีทำ

1. $8 y^{3} = (2 y)^{3}$ และ $125 = 5^{3}$
2.ใช้ $a^{3} - b^{3}$ โดย $a = 2 y$ , $b = 5$
3. $= (2 y - 5) ((2 y)^{2} + (2 y) (5) + 5^{2})$

ตอบ $(2 y - 5) (4 y^{2} + 10 y + 25)$

ข้อควรระวัง

วงเล็บที่สองของสูตรกำลังสามมีพจน์กลางเป็น $ab$ ไม่ใช่ $2 ab$ · คนที่จำสับกับกำลังสองสมบูรณ์จะเขียน $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ ซึ่งผิด · ตรวจได้ด้วยการคูณกลับ

2.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือและทฤษฎีบทตัวประกอบ

พหุนามดีกรีสามที่ไม่เข้าสูตรใด ต้องหาตัวประกอบตัวแรกให้ได้ก่อน · เครื่องมือคือการแทนค่าลงไปตรง ๆ แทนการเดาสุ่ม

ทฤษฎีบทเศษเหลือ

P (x) \div (x - c) เหลือเศษ P (c)

ไม่ต้องหารจริง แค่แทน $x = c$ ลงในพหุนาม

ทฤษฎีบทตัวประกอบ

P (c) = 0 ⟺ (x - c) เป็นตัวประกอบของ P (x)

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสาม

1ลิสต์ตัวหารของพจน์ค่าคงตัวทั้งบวกและลบ — ค่าที่ควรลองมีเท่านี้
2แทนทีละค่าลงใน $P (x)$ จนเจอค่าที่ทำให้ได้ศูนย์
3เมื่อ $P (c) = 0$ แสดงว่า $(x - c)$ เป็นตัวประกอบ
4หารพหุนามด้วย $(x - c)$ จะเหลือพหุนามดีกรีสอง
5แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองนั้นด้วยวิธีจาก ม.2

ตัวอย่าง

จงแยกตัวประกอบ $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$

วิธีทำ

1.ตัวหารของ $- 6$ ที่ควรลองคือ $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
2.ลอง $x = 1$ : $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ จึงได้ $(x - 1)$ เป็นตัวประกอบ
3.หาร $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ ด้วย $(x - 1)$ ได้ $x^{2} - 5 x + 6$
4.แยกต่อ: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$

ตอบ $(x - 1) (x - 2) (x - 3)$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมลองแค่ตัวหารของพจน์ค่าคงตัว? เพราะถ้า $(x - c)$ เป็นตัวประกอบและสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม พจน์ค่าคงตัวย่อมเป็นผลคูณที่มี $c$ อยู่ด้วย · $c$ จึงต้องหารพจน์นั้นลงตัว — เป็นการตัดตัวเลือกด้วยเหตุผล ไม่ใช่การเดา

2.3 การหารพหุนาม

การหารยาว

1เรียงทั้งตัวตั้งและตัวหารตามดีกรีจากมากไปน้อย · ดีกรีที่ขาดให้ใส่สัมประสิทธิ์ศูนย์ไว้
2หารพจน์แรกของตัวตั้งด้วยพจน์แรกของตัวหาร ได้พจน์แรกของผลหาร
3คูณผลหารที่ได้กลับเข้าไปในตัวหารทั้งก้อน แล้วลบออกจากตัวตั้ง
4ดึงพจน์ถัดไปลงมา แล้วทำซ้ำจนดีกรีของเศษน้อยกว่าดีกรีของตัวหาร

การตรวจผลหาร

ตัวตั้ง = ตัวหาร \times ผลหาร + เศษ

คูณกลับแล้วต้องได้ตัวตั้งเดิมเป๊ะ ถ้าไม่ตรงแปลว่าหารพลาด

ตัวอย่าง

จงหาร $2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6$ ด้วย $(x - 2)$

วิธีทำ

1. $2 x^{3} \div x = 2 x^{2}$ · คูณกลับได้ $2 x^{3} - 4 x^{2}$ · ลบออกเหลือ $7 x^{2} - 11 x - 6$
2. $7 x^{2} \div x = 7 x$ · คูณกลับได้ $7 x^{2} - 14 x$ · ลบออกเหลือ $3 x - 6$
3. $3 x \div x = 3$ · คูณกลับได้ $3 x - 6$ · ลบออกเหลือ $0$

ตอบ ผลหาร $2 x^{2} + 7 x + 3$ เศษ $0$ ดังนั้น $(x - 2)$ เป็นตัวประกอบ

ข้อควรระวัง

ดีกรีที่ขาดต้องใส่ศูนย์คั่นไว้ · หาร $x^{3} - 8$ ต้องมองเป็น $x^{3} + 0 x^{2} + 0 x - 8$ มิฉะนั้นตำแหน่งจะเลื่อนและคำตอบผิดทั้งข้อ

2.4 ลำดับการแยกตัวประกอบ

ลำดับที่ควรลองเสมอ

1ดึงตัวประกอบร่วมออกก่อนเป็นอันดับแรกทุกครั้ง
2นับจำนวนพจน์ที่เหลือ
3สองพจน์ → ลองผลต่างกำลังสอง ผลบวกกำลังสาม หรือผลต่างกำลังสาม
4สามพจน์ → ลองกำลังสองสมบูรณ์ ก่อนใช้วิธีหาคู่ตัวเลข
5สี่พจน์ขึ้นไป → ลองจับกลุ่มสองคู่
6ดีกรีสามที่ไม่เข้าสูตร → ใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบ
7ตรวจว่าตัวประกอบที่ได้ยังแยกต่อได้อีกหรือไม่

ตัวอย่าง

จงแยกตัวประกอบ $2 x^{4} - 32$ ให้สมบูรณ์ที่สุด

วิธีทำ

1.ดึงตัวประกอบร่วม 2 ออกก่อน: $2 (x^{4} - 16)$
2. $x^{4} - 16$ เป็นผลต่างกำลังสอง: $2 (x^{2} + 4) (x^{2} - 4)$
3. $x^{2} - 4$ ยังเป็นผลต่างกำลังสองอีกชั้น: $2 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$
4. $x^{2} + 4$ เป็นผลบวกกำลังสอง แยกในจำนวนจริงต่อไม่ได้

ตอบ $2 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$

เคล็ดลับ

คำว่า “แยกให้สมบูรณ์” หมายถึงต้องแยกจนแยกต่อไม่ได้จริง ๆ · หยุดที่ $2 (x^{4} - 16)$ หรือหยุดที่ชั้นกลาง ยังไม่ได้คะแนนเต็ม · ตรวจทุกวงเล็บก่อนส่งคำตอบว่ายังแยกต่อได้อีกไหม

🎯 Key takeaways

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ และ $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ — พจน์กลางเป็น $ab$ ไม่ใช่ $2 ab$
ทฤษฎีบทเศษเหลือ: เศษจากการหารด้วย $(x - c)$ คือ $P (c)$ · ถ้าได้ศูนย์แสดงว่าเป็นตัวประกอบ
ลองเฉพาะตัวหารของพจน์ค่าคงตัว — เป็นการตัดตัวเลือกด้วยเหตุผล ไม่ใช่การเดา
หารยาวต้องใส่สัมประสิทธิ์ศูนย์ให้ดีกรีที่ขาด
ดึงตัวประกอบร่วมก่อนเสมอ แล้วตรวจซ้ำว่าทุกวงเล็บแยกต่อไม่ได้แล้วจริง

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena