Chapter 8

พีระมิด กรวย และทรงกลม

Pyramids, Cones and Spheres

รูปทรงที่หน้าตัดไม่คงที่ — สูตรปริมาตรจึงมีเศษหนึ่งส่วนสามเข้ามา พร้อมเหตุผลว่าทำไม และวิธีแยกความสูงเอียงออกจากความสูงตรง

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตเล่ม 2 บทที่ 3
Common Core (US): 8.G, G-GMD
Cambridge: Lower Secondary Stage 9 — Shapes and measurements

8.1 พีระมิด

นิยาม

พีระมิด (Pyramid)

รูปทรงที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และมีหน้าข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่จุดยอดจุดเดียว · เรียกชื่อตามรูปของฐาน

พีระมิดฐานพื้นที่ $B$ สูง $h$

V = \frac{1}{3} B h S = B + \frac{1}{2} P ℓ

$P$ = ความยาวรอบฐาน · $ℓ$ = สูงเอียง ของหน้าข้าง ไม่ใช่ความสูงของพีระมิด

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมต้องมี $\frac{1}{3}$ ? เพราะพีระมิดสามอันที่มีฐานและความสูงเท่ากับปริซึม ประกอบกันได้พอดีเป็นปริซึมอันเดียว · ตัวเลขนี้ไม่ได้มาลอย ๆ แต่มาจากการที่หน้าตัดเล็กลงเรื่อย ๆ ไม่ใช่คงที่แบบปริซึม

ข้อควรระวัง

ความสูง กับ ความสูงเอียง เป็นคนละตัวและมักถูกสลับ · ความสูงคือระยะตั้งฉากจากยอดถึงฐาน ส่วนความสูงเอียงคือระยะจากยอดถึงกึ่งกลางขอบฐาน · ทั้งสองต่อกันด้วยพีทาโกรัส

ตัวอย่าง

พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว 12 ซม. สูง 8 ซม. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิว

วิธีทำ

1. $B = 1 2^{2} = 144$ ตร.ซม. · $V = \frac{1}{3} (144) (8) = 384$ ลบ.ซม.
2.หาความสูงเอียง: ครึ่งด้านฐานคือ 6 · $ℓ = 8^{2} + 6^{2} = 10$ ซม.
3. $P = 4 \times 12 = 48$ ซม.
4. $S = 144 + \frac{1}{2} (48) (10) = 144 + 240$

ตอบ ปริมาตร $384$ ลบ.ซม. · พื้นที่ผิว $384$ ตร.ซม.

8.2 กรวย

กรวยรัศมี $r$ สูง $h$ สูงเอียง $ℓ$

V = \frac{1}{3} π r^{2} h S = π r^{2} + π r ℓ ℓ = r^{2} + h^{2}

$π r ℓ$ คือพื้นที่ผิวข้าง ซึ่งคลี่ออกได้เป็นเซกเตอร์ของวงกลมรัศมี $ℓ$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

กรวยคือพีระมิดที่ฐานเป็นวงกลม · จึงได้ $\frac{1}{3}$ มาด้วยเหตุผลเดียวกัน และได้สูตรพื้นที่ผิวข้างจากการคลี่แบบเดียวกัน ไม่ต้องท่องเพิ่มถ้าเข้าใจพีระมิดแล้ว

ตัวอย่าง

กรวยรัศมี 6 ซม. สูง 8 ซม. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิว (ใช้ $π \approx 3.14$ )

วิธีทำ

1. $V = \frac{1}{3} π (36) (8) = 96 π \approx 301.44$ ลบ.ซม.
2. $ℓ = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$ ซม.
3. $S = π (36) + π (6) (10) = 36 π + 60 π = 96 π$
4. $\approx 301.44$ ตร.ซม.

ตอบ ปริมาตร $\approx 301.44$ ลบ.ซม. · พื้นที่ผิว $\approx 301.44$ ตร.ซม.

ข้อควรระวัง

สูตรปริมาตรใช้ ความสูง $h$ แต่สูตรพื้นที่ผิวใช้ ความสูงเอียง $ℓ$ · โจทย์มักให้มาตัวเดียวแล้วให้หาอีกตัวด้วยพีทาโกรัส · ใช้สลับกันคือคำตอบผิดทั้งข้อ

8.3 ทรงกลม

ทรงกลมรัศมี $r$

V = \frac{4}{3} π r^{3} S = 4 π r^{2}

ทรงกลมมีตัวแปรเดียวคือรัศมี ไม่มีความสูงหรือความสูงเอียง

เคล็ดลับ

จำง่าย: พื้นที่ผิวทรงกลมเท่ากับ สี่เท่าของพื้นที่วงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน · และปริมาตรเท่ากับ สองในสามของทรงกระบอกที่ครอบมันพอดี ซึ่งเป็นข้อค้นพบของอาร์คิมิดีสที่เขาให้สลักไว้บนหลุมศพตัวเอง

ตัวอย่าง 1

ลูกบอลรัศมี 3 เซนติเมตร จงหาปริมาตรในรูปที่มี $π$

วิธีทำ

1. $V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π (27)$
2. $= 36 π$

ตอบ $36 π$ ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตัวอย่าง 2

ทรงกลมมีพื้นที่ผิว $100 π$ ตารางเซนติเมตร จงหารัศมี

วิธีทำ

1. $4 π r^{2} = 100 π$
2. $r^{2} = 25$
3. $r = 5$ (รัศมีติดลบไม่ได้)

ตอบ รัศมี $5$ เซนติเมตร

8.4 รูปทรงประกอบ

คิดรูปทรงประกอบ

1แยกรูปออกเป็นรูปทรงพื้นฐานที่รู้จัก
2คำนวณปริมาตรของแต่ละส่วนแล้วบวกกัน
3สำหรับพื้นที่ผิว ให้ นับเฉพาะผิวที่มองเห็นจากภายนอก — ผิวที่ประกบกันไม่นับ
4ตรวจหน่วยของคำตอบให้ตรงกับสิ่งที่โจทย์ถาม

ตัวอย่าง

ถังน้ำเป็นทรงกระบอกรัศมี 5 ม. สูง 10 ม. มีฝาบนเป็นครึ่งทรงกลมรัศมีเดียวกัน จงหาปริมาตรรวมในรูปที่มี $π$

วิธีทำ

1.ทรงกระบอก: $π (25) (10) = 250 π$
2.ครึ่งทรงกลม: $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} π (125) = \frac{250}{3} π$
3.รวม: $250 π + \frac{250}{3} π = \frac{750 + 250}{3} π$

ตอบ $\frac{1000}{3} π$ ลูกบาศก์เมตร

ข้อควรระวัง

พื้นที่ผิวของรูปทรงประกอบ ไม่ใช่ ผลบวกของพื้นที่ผิวแต่ละชิ้น · หน้าที่ประกบกันหายไปทั้งสองด้าน · โจทย์ประเภทนี้ต้องวาดรูปแล้วไล่ดูทีละผิวว่าเห็นจากข้างนอกไหม

🎯 Key takeaways

พีระมิดและกรวยมี $\frac{1}{3}$ เพราะหน้าตัดเล็กลงเรื่อย ๆ ไม่คงที่แบบปริซึม
ความสูง $h$ กับความสูงเอียง $ℓ$ เป็นคนละตัว เชื่อมกันด้วย $ℓ = r^{2} + h^{2}$
ปริมาตรใช้ $h$ · พื้นที่ผิวข้างใช้ $ℓ$ — สลับกันไม่ได้
ทรงกลม: $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ และ $S = 4 π r^{2}$
รูปทรงประกอบบวกปริมาตรได้ แต่พื้นที่ผิวต้องนับเฉพาะผิวที่เห็นจากภายนอก

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena