Chapter 7

วงกลม

Circles

มุมที่จุดศูนย์กลาง มุมในส่วนโค้ง คอร์ด และเส้นสัมผัส — ชุดทฤษฎีบทที่ทำให้คำนวณมุมในวงกลมได้โดยไม่ต้องวัด

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตเล่ม 2 บทที่ 2
Common Core (US): 7.G, G-C
Cambridge: Lower Secondary Stage 9 — Geometrical reasoning

7.1 ส่วนประกอบของวงกลม

●
ชื่อที่ต้องเรียกให้ถูกก่อนเริ่มบทนี้
- รัศมี — จากจุดศูนย์กลางถึงเส้นรอบวง
- เส้นผ่านศูนย์กลาง — คอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลาง ยาวเป็นสองเท่าของรัศมี
- คอร์ด — ส่วนของเส้นตรงที่มีปลายทั้งสองอยู่บนวงกลม
- ส่วนโค้ง — ส่วนหนึ่งของเส้นรอบวง
- เส้นสัมผัส — เส้นตรงที่แตะวงกลมเพียงจุดเดียว

ความยาวรอบวงและพื้นที่

C = 2 π r A = π r^{2}

ทบทวนจาก ม.1 · ใช้ต่อในหัวข้อความยาวส่วนโค้งและพื้นที่เซกเตอร์

ส่วนโค้งและเซกเตอร์ที่มุมศูนย์กลาง $θ$ องศา

ความยาวส่วนโค้ง = \frac{θ}{360} \times 2 π r พื้นที่เซกเตอร์ = \frac{θ}{360} \times π r^{2}

คิดเป็นเศษส่วนของวงกลมทั้งวง ไม่ต้องจำเป็นสูตรใหม่

7.2 มุมในวงกลม

มุมที่จุดศูนย์กลางกับมุมในส่วนโค้ง

∠ ที่จุดศูนย์กลาง = 2 \times ∠ ในส่วนโค้งเดียวกัน

ทั้งสองมุมต้องรองรับส่วนโค้งเดียวกันเท่านั้น

●
ผลที่ตามมาซึ่งใช้บ่อยมาก
- มุมในส่วนโค้งที่รองรับส่วนโค้งเดียวกัน เท่ากันเสมอ
- มุมในครึ่งวงกลมเป็น มุมฉาก เพราะมุมที่จุดศูนย์กลางเป็น $18 0^{\circ}$
- มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดทั้งสี่อยู่บนวงกลม รวมกันได้ $18 0^{\circ}$

ตัวอย่าง

$A B$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ $C$ อยู่บนวงกลม ถ้า $∠ C A B = 3 5^{\circ}$ จงหา $∠ A B C$

วิธีทำ

1. $∠ A C B$ เป็นมุมในครึ่งวงกลม จึงเป็นมุมฉาก $= 9 0^{\circ}$
2.ผลบวกมุมภายในของสามเหลี่ยมเท่ากับ $18 0^{\circ}$
3. $∠ A B C = 180 - 90 - 35$

ตอบ $∠ A B C = 5 5^{\circ}$

เคล็ดลับ

เห็นเส้นผ่านศูนย์กลางในโจทย์เมื่อไร ให้มองหามุมในครึ่งวงกลมทันที · ทฤษฎีบทนี้เป็น “ของฟรี” ที่ปลดล็อกโจทย์วงกลมได้เกินครึ่งของที่เจอในข้อสอบ

7.3 คอร์ด

●
สมบัติของคอร์ดที่ต้องจำ
- เส้นตรงจากจุดศูนย์กลางที่ ตั้งฉาก กับคอร์ด จะแบ่งครึ่งคอร์ดนั้นพอดี
- คอร์ดที่ยาวเท่ากัน อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
- คอร์ดที่ยาวกว่า อยู่ใกล้จุดศูนย์กลางมากกว่า

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมเส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางจึงแบ่งครึ่งคอร์ดพอดี? เพราะรัศมีสองเส้นที่ลากไปยังปลายคอร์ดยาวเท่ากัน จึงเกิดสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่เท่ากันทุกประการตามเงื่อนไข ฉ.ด.ด. — บทที่ 8 ของ ม.2 กลับมาใช้ตรงนี้พอดี

ตัวอย่าง

วงกลมรัศมี 13 ซม. มีคอร์ดยาว 24 ซม. จงหาระยะจากจุดศูนย์กลางถึงคอร์ดนั้น

วิธีทำ

1.เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางแบ่งคอร์ดครึ่งหนึ่ง จึงได้ครึ่งคอร์ดยาว 12 ซม.
2.เกิดสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นรัศมี 13
3. $d = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 169 - 144 = 25$

ตอบ ห่างจากจุดศูนย์กลาง $5$ เซนติเมตร

7.4 เส้นสัมผัสวงกลม

สมบัติหลักของเส้นสัมผัส

เส้นสัมผัส ⊥ รัศมีที่จุดสัมผัส

จึงเกิดสามเหลี่ยมมุมฉากทุกครั้งที่มีเส้นสัมผัส และใช้พีทาโกรัสได้ทันที

●
เส้นสัมผัสจากจุดภายนอกจุดเดียวกัน
- ลากได้สองเส้นเสมอ และ ยาวเท่ากัน
- เส้นจากจุดนั้นถึงจุดศูนย์กลางแบ่งครึ่งมุมระหว่างเส้นสัมผัสทั้งสอง

ตัวอย่าง

จุด $P$ อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี 8 ซม. เป็นระยะ 17 ซม. จงหาความยาวของเส้นสัมผัสจาก $P$

วิธีทำ

1.รัศมีตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่จุดสัมผัส จึงเกิดสามเหลี่ยมมุมฉาก
2.ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 17 และด้านประกอบมุมฉากคือรัศมี 8
3. $t = 1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225$

ตอบ เส้นสัมผัสยาว $15$ เซนติเมตร

ข้อควรระวัง

ในสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นสัมผัส ด้านตรงข้ามมุมฉากคือระยะจากจุดภายนอกถึงจุดศูนย์กลาง ไม่ใช่เส้นสัมผัส · วางผิดตำแหน่งจะได้รากติดลบหรือคำตอบที่ใหญ่เกินจริง

🎯 Key takeaways

มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้งที่รองรับส่วนโค้งเดียวกัน
มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉากเสมอ — เห็นเส้นผ่านศูนย์กลางให้นึกถึงข้อนี้ก่อน
เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางแบ่งครึ่งคอร์ดพอดี
เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส จึงใช้พีทาโกรัสได้ทันที
เส้นสัมผัสสองเส้นจากจุดภายนอกจุดเดียวกันยาวเท่ากัน

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena