Chapter 1

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

Linear Inequalities in One Variable

แก้ประโยคที่ใช้เครื่องหมายมากกว่าหรือน้อยกว่าแทนเครื่องหมายเท่ากับ — วิธีทำเกือบเหมือนสมการทุกอย่าง ยกเว้นกฎข้อเดียวที่พลิกทุกอย่างกลับด้าน

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 1 บทที่ 1
Common Core (US): A-REI, A-CED
Cambridge: Lower Secondary Stage 9 — Equations and inequalities

1.1 อสมการคืออะไร

นิยาม

อสมการ (Inequality)

ประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงการเปรียบเทียบด้วย $<$ , $>$ , $\leq$ , $\geq$ หรือ $\neq =$ · คำตอบของอสมการมักเป็น ช่วงของจำนวน ไม่ใช่ค่าเดียวเหมือนสมการ

สัญลักษณ์	อ่านว่า	รวมค่าปลายหรือไม่	เขียนบนเส้นจำนวน
$x < a$	น้อยกว่า	ไม่รวม	วงกลมโปร่งที่ $a$ ระบายไปทางซ้าย
$x \leq a$	น้อยกว่าหรือเท่ากับ	รวม	วงกลมทึบที่ $a$ ระบายไปทางซ้าย
$x > a$	มากกว่า	ไม่รวม	วงกลมโปร่งที่ $a$ ระบายไปทางขวา
$x \geq a$	มากกว่าหรือเท่ากับ	รวม	วงกลมทึบที่ $a$ ระบายไปทางขวา

อ่านเครื่องหมายให้ถูก

●
คำในโจทย์ที่แปลเป็นเครื่องหมาย
- “ไม่เกิน” · “อย่างมาก” · “ไม่มากกว่า” → $\leq$
- “อย่างน้อย” · “ไม่ต่ำกว่า” → $\geq$
- “น้อยกว่า” · “ต่ำกว่า” → $<$ (ไม่รวมค่านั้น)

ข้อควรระวัง

“ไม่เกิน 50” หมายถึง $x \leq 50$ คือ รวม 50 ด้วย · แต่ “น้อยกว่า 50” คือ $x < 50$ ซึ่งไม่รวม · โจทย์ปัญหาส่วนใหญ่ที่ตอบผิดในบทนี้ ผิดตั้งแต่ขั้นแปลคำ ไม่ใช่ขั้นคำนวณ

1.2 การแก้อสมการ

ทุกอย่างที่ทำกับสมการได้ ก็ทำกับอสมการได้ — บวก ลบ คูณ หาร ทั้งสองข้าง · มีข้อยกเว้นข้อเดียว แต่เป็นข้อที่ทำให้คนตอบผิดมากที่สุดในบท

กฎข้อเดียวที่ต้องระวัง

a < b ⟹ - a > - b

คูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวน ลบ ต้อง กลับเครื่องหมายอสมการ

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมต้องกลับ? ดูของจริง: $2 < 5$ เป็นจริง · คูณสองข้างด้วย $- 1$ ได้ $- 2$ กับ $- 5$ · บนเส้นจำนวน $- 2$ อยู่ทางขวาของ $- 5$ จึงเป็น $- 2 > - 5$ · การคูณด้วยจำนวนลบ สะท้อนเส้นจำนวนกลับด้าน ลำดับจึงพลิกตาม

ตัวอย่าง 1

จงแก้อสมการ $3 x - 7 \leq 8$

วิธีทำ

1.บวก 7 ทั้งสองข้าง: $3 x \leq 15$
2.หารด้วย 3 ซึ่งเป็นบวก จึงไม่ต้องกลับเครื่องหมาย
3. $x \leq 5$

ตอบ $x \leq 5$

ตัวอย่าง 2

จงแก้อสมการ $- 2 x + 1 > 9$

วิธีทำ

1.ลบ 1 ทั้งสองข้าง: $- 2 x > 8$
2.หารด้วย $- 2$ ซึ่งเป็นลบ ต้องกลับเครื่องหมาย
3. $x < - 4$

ตอบ $x < - 4$

ตัวอย่าง 3

จงแก้อสมการ $5 - 3 x \geq 2 x - 10$

วิธีทำ

1.ย้าย $x$ ไปข้างเดียวกัน: $5 \geq 5 x - 10$
2.บวก 10: $15 \geq 5 x$
3.หารด้วย 5 ซึ่งเป็นบวก: $3 \geq x$
4.เขียนกลับให้อ่านง่าย: $x \leq 3$

ตอบ $x \leq 3$

เคล็ดลับ

ตรวจคำตอบด้วยการ แทนตัวเลขหนึ่งตัวจากช่วงคำตอบ และอีกตัวจากนอกช่วง · ตัวในช่วงต้องทำให้อสมการเดิมเป็นจริง ตัวนอกช่วงต้องเป็นเท็จ ถ้าไม่เป็นแบบนั้น แสดงว่ากลับเครื่องหมายพลาด

1.3 การเขียนคำตอบบนเส้นจำนวน

เขียนกราฟคำตอบ

1ทำเครื่องหมายค่าปลายบนเส้นจำนวน
2ใช้วงกลมทึบถ้าเครื่องหมายมีขีดใต้ ( $\leq$ หรือ $\geq$ ) และวงกลมโปร่งถ้าไม่มี
3ระบายไปทางที่คำตอบครอบคลุม — น้อยกว่าไปทางซ้าย มากกว่าไปทางขวา
4ตรวจโดยเลือกจุดหนึ่งในแถบที่ระบาย แล้วแทนกลับในอสมการเดิม

นิยาม

อสมการประกอบ (Compound inequality)

อสมการที่มีเงื่อนไขสองข้อพร้อมกัน เช่น $- 3 < x \leq 5$ · หมายถึง $x$ ต้องมากกว่า $- 3$ และ ไม่เกิน 5 พร้อมกัน · คำตอบคือช่วงระหว่างค่าปลายทั้งสอง

ตัวอย่าง

จงแก้ $- 1 \leq 2 x + 3 < 7$

วิธีทำ

1.ทำกับทั้งสามส่วนพร้อมกัน · ลบ 3 ทุกส่วน: $- 4 \leq 2 x < 4$
2.หารด้วย 2 ทุกส่วน (บวก จึงไม่กลับเครื่องหมาย)
3. $- 2 \leq x < 2$

ตอบ $- 2 \leq x < 2$

1.4 โจทย์ปัญหาอสมการ

แปลงโจทย์เป็นอสมการ

1กำหนดตัวแปรให้ชัดเจนพร้อมหน่วย เช่น ให้ $x$ แทนจำนวนชิ้น
2แปลเงื่อนไขในโจทย์เป็นเครื่องหมายให้ถูก โดยดูคำว่าไม่เกิน อย่างน้อย หรือน้อยกว่า
3แก้อสมการตามปกติ
4ตีความคำตอบกลับเป็นบริบท — จำนวนคนหรือจำนวนชิ้นต้องเป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่าง

สมุดเล่มละ 25 บาท มีเงิน 300 บาท และต้องเหลือค่ารถกลับบ้าน 40 บาท ซื้อสมุดได้มากที่สุดกี่เล่ม

วิธีทำ

1.ให้ $x$ เป็นจำนวนสมุด · ค่าใช้จ่ายคือ $25 x$
2.เงื่อนไข: $25 x + 40 \leq 300$
3. $25 x \leq 260$
4. $x \leq 10.4$
5.จำนวนสมุดต้องเป็นจำนวนเต็ม จึงได้มากที่สุด 10 เล่ม

ตอบ ซื้อได้มากที่สุด 10 เล่ม

ข้อควรระวัง

คำตอบ $x \leq 10.4$ ไม่ใช่คำตอบสุดท้าย ของโจทย์ข้างบน · ข้อสอบให้คะแนนที่การตีความกลับเป็น 10 เล่ม · อสมการให้ช่วง แต่บริบทเป็นตัวตัดว่าค่าไหนใช้ได้จริง

🎯 Key takeaways

อสมการแก้เหมือนสมการทุกขั้น ยกเว้นคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ ต้องกลับเครื่องหมาย
“ไม่เกิน” และ “อย่างน้อย” รวมค่าปลาย ( $\leq$ , $\geq$ ) แต่ “น้อยกว่า” และ “มากกว่า” ไม่รวม
วงกลมทึบคือรวมค่าปลาย · วงกลมโปร่งคือไม่รวม
อสมการประกอบทำกับทั้งสามส่วนพร้อมกัน
โจทย์ปัญหาต้องตีความคำตอบกลับเป็นบริบทเสมอ เช่นปัดลงเป็นจำนวนเต็ม

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena