Chapter 5

รูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ

Two- and Three-Dimensional Shapes

ฝึกมองรูปทรงสามมิติแล้วแปลงกลับไปมาเป็นภาพสองมิติ — หน้าตัดที่ได้จากการผ่า ภาพที่เห็นจากแต่ละด้าน และรูปคลี่ที่พับกลับเป็นทรงเดิมได้

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตเล่ม 1 บทที่ 5
Common Core (US): 7.G
Cambridge: Lower Secondary Stage 7 — 3D shapes, nets, plans and elevations

5.1 รูปเรขาคณิตสามมิติ

●
ปริซึม (Prism) — หน้าตัดขวางเหมือนกันตลอดความยาว
- ตั้งชื่อตามรูปฐาน: ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมห้าเหลี่ยม
- ฐานสองหน้าเท่ากันและขนานกัน หน้าข้างเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก
- ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากและลูกบาศก์ก็คือปริซึมสี่เหลี่ยม
●
พีระมิด (Pyramid) — มีฐานหนึ่งหน้าและยอดแหลมหนึ่งจุด
- ตั้งชื่อตามรูปฐานเช่นกัน: พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม พีระมิดฐานสามเหลี่ยม
- หน้าข้างทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่ยอด
●
รูปทรงที่มีผิวโค้ง
- ทรงกระบอก — ฐานเป็นวงกลมสองวงเท่ากัน
- กรวย — ฐานวงกลมหนึ่งวงกับยอดแหลม
- ทรงกลม — ทุกจุดบนผิวห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน

สูตรออยเลอร์ (ใช้ได้กับทรงหลายหน้า)

V - E + F = 2

$V$ = จำนวนจุดยอด · $E$ = จำนวนขอบ · $F$ = จำนวนหน้า · ลูกบาศก์: $8 - 12 + 6 = 2$ ✓

5.2 หน้าตัดของรูปเรขาคณิตสามมิติ

นิยาม

หน้าตัด (Cross-section)

รูปสองมิติที่ได้เมื่อใช้ระนาบผ่ารูปทรงสามมิติออกเป็นสองส่วน — เหมือนหั่นแครอทแล้วดูหน้าที่ถูกหั่น

รูปทรง	ตัดขนานกับฐาน	ตัดตั้งฉากกับฐาน (ผ่านแกน)
ทรงกระบอก	วงกลม (ขนาดเท่าฐานเสมอ)	สี่เหลี่ยมมุมฉาก
กรวย	วงกลม (เล็กลงเมื่อเข้าใกล้ยอด)	สามเหลี่ยม
ทรงกลม	วงกลม (ใหญ่สุดเมื่อผ่านศูนย์กลาง)	วงกลม
ปริซึมสามเหลี่ยม	สามเหลี่ยมเท่าฐาน	สี่เหลี่ยมมุมฉาก
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม	สี่เหลี่ยม (เล็กลงเมื่อเข้าใกล้ยอด)	สามเหลี่ยม

หน้าตัดที่พบบ่อย

เคล็ดลับ

จุดต่างสำคัญ: ปริซึมกับทรงกระบอกมีหน้าตัดขนานฐานเท่าเดิมเสมอ ส่วน พีระมิดกับกรวยหน้าตัดจะเล็กลงเรื่อย ๆ เพราะรูปทรงสอบเข้าหายอด — ถ้าจำข้อนี้ได้จะตอบคำถามหน้าตัดได้เกือบทั้งหมด

5.3 ภาพที่ได้จากการมอง

วิศวกรและสถาปนิกเขียนแบบด้วยภาพสามด้านนี้ เพราะภาพสามมิติภาพเดียวมักบอกขนาดที่แท้จริงไม่ครบ

ภาพด้านหน้า (front view) — มองตรงเข้าไปจากด้านหน้า
ภาพด้านข้าง (side view) — มองจากทางซ้ายหรือขวา
ภาพด้านบน (top view / plan) — มองลงมาจากข้างบน

วิธีเขียนภาพสามด้านจากกองลูกบาศก์

1มองจากทิศที่ต้องการ แล้ว ยุบความลึกทิ้ง เหลือแต่รูปร่างแบน ๆ
2นับความกว้างและความสูงที่เห็นจากทิศนั้น
3ระบายช่องที่มีลูกบาศก์บังอยู่ แม้จะอยู่ข้างหลังก็ตาม — เพราะเรามองเห็นเป็นเงาทึบ

ข้อควรระวัง

ภาพสามด้าน ไม่ได้บอกจำนวนลูกบาศก์ที่แน่นอนเสมอไป · กองสองกองที่ต่างกันอาจให้ภาพสามด้านเหมือนกันได้ ถ้ามีลูกบาศก์ซ่อนอยู่ด้านหลัง นี่คือเหตุผลที่แบบก่อสร้างจริงต้องมีตัวเลขกำกับด้วย

5.4 รูปคลี่

นิยาม

รูปคลี่ (Net)

รูปสองมิติที่ได้จากการคลี่ผิวของรูปทรงสามมิติออกมาวางบนระนาบ โดยที่พับกลับแล้วต้องได้รูปทรงเดิมพอดี ไม่ซ้อนกันและไม่มีช่องโหว่

●
รูปคลี่ที่ควรรู้
- ลูกบาศก์ มีรูปคลี่ที่ต่างกัน 11 แบบ (ไม่นับที่หมุนหรือพลิกแล้วซ้ำกัน)
- ทรงกระบอก = สี่เหลี่ยมมุมฉาก 1 รูป + วงกลม 2 วง · ด้านยาวของสี่เหลี่ยมต้องเท่าเส้นรอบวงพอดี
- กรวย = ส่วนของวงกลม (sector) 1 ชิ้น + วงกลม 1 วง
- ทรงกลม ไม่มีรูปคลี่ — คลี่ให้แบนสนิทไม่ได้ (นี่คือเหตุผลที่แผนที่โลกทุกแบบบิดเบี้ยว)
●
วิธีตรวจว่ารูปคลี่ใช้ได้ไหม
- นับจำนวนหน้าให้ตรงกับรูปทรง (ลูกบาศก์ต้องมี 6 รูป)
- ลองพับในใจทีละหน้า ดูว่ามีสองหน้าไหนทับกันหรือไม่
- เทคนิค: ในรูปคลี่ลูกบาศก์ หน้าที่อยู่ตรงข้ามกันจะ ไม่ติดกัน และมักห่างกัน 1 ช่อง

ตัวอย่าง

ทรงหลายหน้าหนึ่งมี 6 หน้า และ 12 ขอบ จะมีกี่จุดยอด

วิธีทำ

1.ใช้สูตรออยเลอร์ $V - E + F = 2$
2.แทนค่า: $V - 12 + 6 = 2$
3. $V - 6 = 2$ ดังนั้น $V = 8$

ตอบ $8$ จุดยอด (ตรงกับลูกบาศก์)

🎯 Key takeaways

ปริซึม/ทรงกระบอก: หน้าตัดขนานฐานเท่าเดิมเสมอ · พีระมิด/กรวย: เล็กลงเข้าหายอด
ภาพสามด้าน (หน้า ข้าง บน) คือการยุบมิติความลึกทิ้ง
ภาพสามด้านเหมือนกันไม่ได้แปลว่าเป็นรูปทรงเดียวกัน
ลูกบาศก์มีรูปคลี่ 11 แบบ · ทรงกลมไม่มีรูปคลี่
สูตรออยเลอร์ $V - E + F = 2$ ใช้ตรวจคำตอบเรื่องจุดยอด/ขอบ/หน้า

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena