Chapter 6

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

Linear Equations in One Variable

จุดเริ่มต้นของพีชคณิตจริง ๆ — เปลี่ยนโจทย์ภาษาไทยให้เป็นสมการ แล้วแก้หาค่าตัวแปรอย่างเป็นระบบ แทนการเดาแล้วลอง

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 2 บทที่ 1
Common Core (US): 7.EE
Cambridge: Lower Secondary Stage 7–8 — Expressions, equations and formulae

6.1 แบบรูปและความสัมพันธ์

ก่อนจะแก้สมการได้ ต้องเขียนสมการเป็นก่อน และการเขียนสมการเริ่มจากการมองเห็นแบบรูปแล้วอธิบายมันด้วยตัวแปร

ตัวอย่าง

ลำดับ $5, 8, 11, 14, \dots$ พจน์ที่ $n$ เป็นเท่าไร

วิธีทำ

1.หาผลต่างระหว่างพจน์: $8 - 5 = 3$ , $11 - 8 = 3$ → เพิ่มทีละ 3 คงที่
2.เพิ่มทีละ 3 แปลว่าในสูตรจะมี $3 n$
3.ลองแทน $n = 1$ : $3 (1) = 3$ แต่ต้องการ 5 จึงต้องบวกอีก 2
4.ตรวจกับพจน์อื่น $n = 4$ : $3 (4) + 2 = 14$ ✓

ตอบ พจน์ที่ $n$ คือ $3 n + 2$

เคล็ดลับ

ผลต่างคงที่คือตัวคูณ เสมอ · ถ้าเพิ่มทีละ 7 สูตรต้องมี $7 n$ แล้วค่อยหาว่าต้องบวกหรือลบเท่าไรจึงจะตรงพจน์แรก

6.2 สมการและคำตอบของสมการ

นิยาม

สมการ (Equation)

ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมาย $=$ แสดงว่าสองข้างมีค่าเท่ากัน · คำตอบของสมการ คือค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการเป็นจริง

●
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือสมการที่
- มีตัวแปรเพียงตัวเดียว
- ตัวแปรมีเลขชี้กำลังเป็น 1 (ไม่มี $x^{2}$ , ไม่มี $x$ , ไม่มี $x$ ในตัวส่วน)
- เขียนได้ในรูป $a x + b = 0$ เมื่อ $a \neq = 0$
●
ตัวอย่างที่ ไม่ใช่ สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
- $x^{2} + 3 = 7$ — เลขชี้กำลังไม่ใช่ 1
- $2 x + y = 5$ — มีสองตัวแปร
- $\frac{6}{x} = 2$ — ตัวแปรอยู่ในตัวส่วน

6.3 การแก้สมการ

สมบัติการเท่ากัน — ใบอนุญาตของการแก้สมการ

ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c, a - c = b - c, a c = b c, \frac{a}{c} = \frac{b}{c} (c \neq = 0)

ทำอะไรกับข้างหนึ่ง ต้องทำเหมือนกันกับอีกข้างเสมอ — เหมือนตาชั่งที่ต้องสมดุลอยู่ตลอด

ลำดับการแก้ที่ใช้ได้เกือบทุกข้อ

1กระจายวงเล็บให้หมดก่อน
2ถ้ามีเศษส่วน ให้คูณทั้งสองข้างด้วย ค.ร.น. ของตัวส่วนเพื่อล้างเศษส่วน
3ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปข้างหนึ่ง พจน์ที่เป็นตัวเลขไปอีกข้างหนึ่ง
4รวมพจน์ที่เหมือนกันในแต่ละข้าง
5หารด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปร
6ตรวจคำตอบ โดยแทนกลับลงในสมการเดิม

ตัวอย่าง 1

จงแก้สมการ $3 x + 5 = 20$

วิธีทำ

1.ลบ 5 ทั้งสองข้าง: $3 x + 5 - 5 = 20 - 5$ ได้ $3 x = 15$
2.หารด้วย 3 ทั้งสองข้าง: $x = 5$
3.ตรวจ: $3 (5) + 5 = 15 + 5 = 20$ ✓

ตอบ $x = 5$

ตัวอย่าง 2

จงแก้สมการ $2 (x - 3) = x + 4$

วิธีทำ

1.กระจายวงเล็บ: $2 x - 6 = x + 4$
2.ลบ $x$ ทั้งสองข้าง: $x - 6 = 4$
3.บวก 6 ทั้งสองข้าง: $x = 10$
4.ตรวจ: ซ้าย $2 (10 - 3) = 14$ · ขวา $10 + 4 = 14$ ✓

ตอบ $x = 10$

ตัวอย่าง 3

จงแก้สมการ $\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

วิธีทำ

1.ค.ร.น. ของตัวส่วนคือ 4 · คูณทุกพจน์ด้วย 4
2. $x + 2 = 5$
3.ลบ 2 ทั้งสองข้าง: $x = 3$
4.ตรวจ: $\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$ ✓

ตอบ $x = 3$

ข้อควรระวัง

การ “ย้ายข้าง” ที่ครูสอนคือทางลัดของสมบัติการเท่ากัน — ย้ายแล้ว ต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย เพราะแท้จริงคือการบวกหรือลบทั้งสองข้าง · ถ้าเผลอย้ายโดยไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย คำตอบจะผิดทันที และการตรวจคำตอบจะจับได้

6.4 โจทย์ปัญหาสมการ

5 ขั้นตอนแปลงโจทย์เป็นสมการ

1อ่านโจทย์แล้วถามว่า โจทย์ถามหาอะไร — ให้สิ่งนั้นเป็น $x$
2เขียนปริมาณอื่น ๆ ให้อยู่ในรูปของ $x$
3หาประโยคในโจทย์ที่บอกว่า “เท่ากับ” แล้วเขียนเป็นสมการ
4แก้สมการ
5ตอบให้ตรงคำถาม พร้อมหน่วย และตรวจว่าสมเหตุสมผล

ตัวอย่าง

พ่ออายุมากกว่าลูก 28 ปี อีก 6 ปีข้างหน้า พ่อจะอายุเป็น 3 เท่าของลูก ปัจจุบันลูกอายุกี่ปี

วิธีทำ

1.ให้ปัจจุบันลูกอายุ $x$ ปี → พ่ออายุ $x + 28$ ปี
2.อีก 6 ปี: ลูกอายุ $x + 6$ · พ่ออายุ $x + 34$
3.เงื่อนไข “พ่อเป็น 3 เท่าของลูก”: $x + 34 = 3 (x + 6)$
4.กระจาย: $x + 34 = 3 x + 18$
5.ย้ายข้าง: $34 - 18 = 3 x - x$ ได้ $16 = 2 x$
6. $x = 8$
7.ตรวจ: ตอนนี้ลูก 8 พ่อ 36 · อีก 6 ปี ลูก 14 พ่อ 42 และ $42 = 3 \times 14$ ✓

ตอบ ปัจจุบันลูกอายุ 8 ปี

🎯 Key takeaways

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว = ตัวแปรตัวเดียว เลขชี้กำลัง 1 เขียนได้เป็น $a x + b = 0$
ทำอะไรกับข้างหนึ่ง ต้องทำเหมือนกันกับอีกข้าง — นี่คือกฎเดียวของการแก้สมการ
ลำดับ: กระจายวงเล็บ → ล้างเศษส่วน → แยกตัวแปรกับตัวเลข → หาร → ตรวจ
ย้ายข้างต้องเปลี่ยนเครื่องหมายเสมอ
โจทย์ปัญหา: ให้สิ่งที่โจทย์ถามเป็น $x$ แล้วหาประโยคที่แปลว่า “เท่ากับ”

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena