Chapter 8

กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น

Graphs and Linear Relationships

เปลี่ยนตัวเลขให้กลายเป็นภาพ — วางจุดบนระนาบพิกัด อ่านกราฟให้เป็น และรู้จักความสัมพันธ์ที่กราฟออกมาเป็นเส้นตรง ซึ่งเป็นรากฐานของฟังก์ชันทั้งหมดใน ม.ปลาย

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 2 บทที่ 3
Common Core (US): 8.EE, 8.F
Cambridge: Lower Secondary Stage 8 — Coordinates and graphs

8.1 คู่อันดับและระนาบพิกัด

นิยาม

คู่อันดับ (Ordered pair)

$(x, y)$ โดย $x$ บอกระยะตามแนวนอน และ $y$ บอกระยะตามแนวตั้ง · เรียกว่า “อันดับ” เพราะ สลับที่ไม่ได้ $(2, 5)$ กับ $(5, 2)$ เป็นคนละจุด

●
ส่วนประกอบของระนาบพิกัด
- แกน $X$ — เส้นแนวนอน · แกน $Y$ — เส้นแนวตั้ง
- จุดกำเนิด (origin) — จุดที่แกนตัดกัน คือ $(0, 0)$
- แกนสองเส้นแบ่งระนาบออกเป็น 4 จตุภาค นับทวนเข็มนาฬิกาจากขวาบน
●
เครื่องหมายในแต่ละจตุภาค
- จตุภาคที่ 1: $(+, +)$ · จตุภาคที่ 2: $(-, +)$
- จตุภาคที่ 3: $(-, -)$ · จตุภาคที่ 4: $(+, -)$

เคล็ดลับ

จำลำดับด้วยประโยค “เดินก่อน ขึ้นทีหลัง” — เดินตามแกน $X$ ให้ครบก่อน แล้วค่อยขึ้นหรือลงตามแกน $Y$

8.2 การอ่านและใช้กราฟ

กราฟมีค่าตรงที่มันตอบคำถามได้เร็วกว่าตาราง เช่น “ตอนไหนโตเร็วที่สุด” หรือ “สองอย่างนี้เท่ากันเมื่อไร” ซึ่งมองจากตัวเลขล้วน ๆ จะช้ากว่ามาก

อ่านกราฟให้ครบต้องดู 4 อย่าง

1หัวเรื่อง — กราฟนี้พูดถึงอะไร
2แกนทั้งสอง — แต่ละแกนคือปริมาณอะไร หน่วยอะไร
3สเกล — หนึ่งช่องแทนเท่าไร (จุดที่หลอกตาได้บ่อยที่สุด)
4แนวโน้ม — ขึ้น ลง คงที่ หรือมีจุดเปลี่ยน

ข้อควรระวัง

สเกลที่ไม่เริ่มจากศูนย์ ทำให้ความต่างเล็ก ๆ ดูใหญ่มหาศาล เป็นเทคนิคที่พบบ่อยในโฆษณาและข่าว · เห็นกราฟแท่งเมื่อไร ให้ดูตัวเลขที่แกนตั้งก่อนเสมอว่าเริ่มที่เท่าไร

8.3 ความสัมพันธ์เชิงเส้น

นิยาม

ความสัมพันธ์เชิงเส้น (Linear relationship)

ความสัมพันธ์ที่เขียนได้ในรูป $y = a x + b$ และเมื่อเขียนกราฟจะได้ เส้นตรง เสมอ · $a$ คืออัตราการเปลี่ยนแปลง และ $b$ คือค่าเริ่มต้นเมื่อ $x = 0$

●
วิธีดูว่าความสัมพันธ์เป็นเชิงเส้นหรือไม่ — ดูจากตาราง
- ถ้า $x$ เพิ่มขึ้นทีละเท่ากัน แล้ว $y$ เพิ่ม (หรือลด) ทีละเท่ากัน ด้วย → เป็นเชิงเส้น
- ถ้า $y$ เพิ่มไม่คงที่ เช่น เพิ่ม 2, 4, 8 → ไม่ใช่เชิงเส้น
●
วิธีวาดกราฟเส้นตรง
- หาคู่อันดับอย่างน้อย 2 จุดจากสมการ (แนะนำ 3 จุดเพื่อใช้ตรวจ)
- จุดที่หาง่ายที่สุดคือ $x = 0$ และ $y = 0$
- ลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้น · ถ้าจุดที่สามไม่อยู่บนเส้น แปลว่าคำนวณผิดที่ใดที่หนึ่ง

ตัวอย่าง 1

แท็กซี่คิดค่าโดยสารเริ่มต้น 35 บาท แล้วบวกอีกกิโลเมตรละ 6 บาท จงเขียนความสัมพันธ์และหาค่าโดยสารเมื่อวิ่ง 10 กิโลเมตร

วิธีทำ

1.ให้ $x$ = ระยะทาง (กม.) และ $y$ = ค่าโดยสาร (บาท)
2.ค่าเริ่มต้น 35 บาท คือค่าเมื่อ $x = 0$ จึงเป็นค่า $b$
3.กิโลเมตรละ 6 บาท คืออัตราการเปลี่ยนแปลง จึงเป็นค่า $a$
4.ได้ความสัมพันธ์ $y = 6 x + 35$
5.แทน $x = 10$ : $y = 6 (10) + 35 = 60 + 35$

ตอบ $y = 6 x + 35$ · วิ่ง 10 กม. ค่าโดยสาร 95 บาท

ตัวอย่าง 2

ตารางนี้เป็นความสัมพันธ์เชิงเส้นหรือไม่ — $x : 1, 2, 3, 4$ และ $y : 7, 10, 13, 16$

วิธีทำ

1. $x$ เพิ่มทีละ 1 สม่ำเสมอ
2. $y$ เพิ่ม: $10 - 7 = 3$ , $13 - 10 = 3$ , $16 - 13 = 3$ → คงที่
3.เพิ่มคงที่ 3 ต่อ 1 หน่วย จึงเป็นเชิงเส้น โดย $a = 3$
4.หาค่า $b$ จาก $x = 1, y = 7$ : $7 = 3 (1) + b$ ได้ $b = 4$

ตอบ เป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น $y = 3 x + 4$

🎯 Key takeaways

$(x, y)$ สลับที่ไม่ได้ — เดินตามแกน $X$ ก่อน แล้วค่อยขึ้นตามแกน $Y$
อ่านกราฟต้องดูสเกลก่อนเสมอ โดยเฉพาะว่าแกนตั้งเริ่มที่ศูนย์หรือไม่
เชิงเส้น = $x$ เพิ่มเท่ากัน แล้ว $y$ เพิ่มเท่ากัน → กราฟเป็นเส้นตรง
ในรูป $y = a x + b$ : $a$ = อัตราการเปลี่ยนแปลง · $b$ = ค่าเริ่มต้น
วาดเส้นตรงใช้ 2 จุดก็พอ แต่หา 3 จุดเพื่อใช้ตรวจความถูกต้อง

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena