Chapter 3

เลขยกกำลัง

Exponents (Indices)

วิธีเขียน “คูณตัวเองซ้ำ ๆ” ให้สั้นลง พร้อมกฎการคูณและการหารที่ทำให้จัดการเลขมหาศาลได้ในบรรทัดเดียว — และสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ที่นักวิทยาศาสตร์ทั้งโลกใช้

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 1 บทที่ 3
Common Core (US): 8.EE
Cambridge: Lower Secondary Stage 8 — Indices and standard form

3.1 ความหมายของเลขยกกำลัง

นิยาม

เลขยกกำลัง

$a^{n}$ อ่านว่า “ $a$ ยกกำลัง $n$ ” หมายถึงเอา $a$ มาคูณกันทั้งหมด $n$ ตัว โดย $a$ เรียกว่า ฐาน และ $n$ เรียกว่า เลขชี้กำลัง

a^{n} = n ตัว a \times a \times \dots \times a

เช่น $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

●
กรณีพิเศษที่ต้องจำ
- $a^{1} = a$ — คูณตัวเดียวก็คือตัวมันเอง
- $a^{0} = 1$ เมื่อ $a \neq = 0$ — ดูเหตุผลในกล่อง “ทำไม” ด้านล่าง
- $1^{n} = 1$ เสมอ ไม่ว่า $n$ จะเท่าไร
●
จุดที่พลาดกันมากที่สุด — ฐานติดลบกับวงเล็บ
- $(- 2)^{4} = (- 2) (- 2) (- 2) (- 2) = + 16$ · ลบ 4 ตัว เป็นจำนวนคู่ → บวก
- $- 2^{4} = - (2^{4}) = - 16$ · เครื่องหมายลบ ไม่ได้อยู่ในวงเล็บ จึงไม่ถูกยกกำลังไปด้วย
- $(- 2)^{3} = - 8$ · ลบ 3 ตัว เป็นจำนวนคี่ → ลบ

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไม $a^{0} = 1$ ? ดูแบบรูปการหารด้วยฐานทีละขั้น: $2^{3} = 8$ , $2^{2} = 4$ , $2^{1} = 2$ · ทุกครั้งที่เลขชี้กำลังลดลง 1 ค่าจะถูกหารด้วย 2 ขั้นต่อไปจึงต้องเป็น $2 \div 2 = 1$ นั่นคือ $2^{0} = 1$ · ไม่ใช่ข้อตกลงลอย ๆ แต่เป็นสิ่งเดียวที่ทำให้กฎอื่นไม่ขัดกันเอง

3.2 กฎการคูณและการหารเลขยกกำลัง

กฎทั้งหมดในหัวข้อนี้ใช้ได้ เฉพาะเมื่อฐานเหมือนกัน เท่านั้น ถ้าฐานต่างกันต้องกระจายออกมาคิดตรง ๆ

กฎการคูณ — ฐานเดียวกัน บวกเลขชี้กำลัง

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

เพราะเอา $m$ ตัวมาต่อกับ $n$ ตัว ก็ได้ทั้งหมด $m + n$ ตัว

กฎการหาร — ฐานเดียวกัน ลบเลขชี้กำลัง

a^{m} \div a^{n} = a^{m - n} (a \neq = 0)

เพราะตัวบนกับตัวล่างตัดกันไปได้ $n$ ตัว เหลือ $m - n$ ตัว

กฎอื่นที่ตามมา

(a^{m})^{n} = a^{mn} (ab)^{n} = a^{n} b^{n} (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

ตัวอย่าง 1

จงหาค่าของ $\frac{3 ^{7} \times 3 ^{2}}{3 ^{5}}$

วิธีทำ

1.ตัวเศษ ฐานเดียวกัน จึงบวกเลขชี้กำลัง: $3^{7} \times 3^{2} = 3^{9}$
2.หารด้วย $3^{5}$ จึงลบเลขชี้กำลัง: $3^{9 - 5} = 3^{4}$
3. $3^{4} = 81$

ตอบ $81$

ตัวอย่าง 2

จงทำ $(2^{3})^{2} \times 2$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังฐาน 2

วิธีทำ

1. $(2^{3})^{2} = 2^{3 \times 2} = 2^{6}$
2. $2 = 2^{1}$ จึงได้ $2^{6} \times 2^{1} = 2^{6 + 1}$

ตอบ $2^{7}$ (มีค่าเท่ากับ $128$ )

ข้อควรระวัง

$2^{3} \times 3^{3}$ ไม่เท่ากับ $6^{6}$ · ฐานต่างกันจึงบวกเลขชี้กำลังไม่ได้ ต้องใช้กฎ $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ ย้อนกลับ: $2^{3} \times 3^{3} = (2 \times 3)^{3} = 6^{3} = 216$

3.3 สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

นิยาม

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ (Scientific notation / Standard form)

การเขียนจำนวนในรูป $A \times 1 0^{n}$ โดยที่ $1 \leq A < 10$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม · ใช้เขียนจำนวนที่ใหญ่มากหรือเล็กมากให้อ่านและเทียบกันได้

วิธีแปลงเป็นสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

1เลื่อนจุดทศนิยมให้เหลือเลขโดดหน้าจุดเพียงตัวเดียว (ค่าต้องอยู่ระหว่าง 1 ถึงน้อยกว่า 10)
2นับว่าเลื่อนไปกี่ตำแหน่ง นั่นคือค่าของ $n$
3เลื่อนไป ทางซ้าย → $n$ เป็นบวก · เลื่อนไป ทางขวา → $n$ เป็นลบ

ตัวอย่าง 1

เขียน $384, 000$ ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

วิธีทำ

1.เลื่อนจุดจากท้ายสุดมาอยู่หลังเลข 3 → ได้ $3.84$
2.นับตำแหน่งที่เลื่อน: 5 ตำแหน่ง และเลื่อนไปทางซ้าย จึงเป็น $+ 5$

ตอบ $3.84 \times 1 0^{5}$

ตัวอย่าง 2

เขียน $0.00072$ ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

วิธีทำ

1.เลื่อนจุดไปทางขวาจนได้ $7.2$
2.เลื่อน 4 ตำแหน่ง และเป็นทางขวา จึงเป็น $- 4$

ตอบ $7.2 \times 1 0^{- 4}$

ปริมาณ	ค่าปกติ	สัญกรณ์วิทยาศาสตร์
ระยะทางโลก–ดวงอาทิตย์	150,000,000 กม.	$1.5 \times 1 0^{8}$ กม.
อัตราเร็วแสง	300,000,000 ม./วินาที	$3 \times 1 0^{8}$ ม./วินาที
เส้นผ่านศูนย์กลางเซลล์เม็ดเลือดแดง	0.0000075 ม.	$7.5 \times 1 0^{- 6}$ ม.

ตัวเลขที่เจอจริงในวิชาวิทยาศาสตร์

เคล็ดลับ

ประโยชน์ที่แท้จริงของสัญกรณ์นี้คือ เทียบขนาดได้ทันที · $1 0^{8}$ กับ $1 0^{6}$ ต่างกัน 100 เท่า อ่านออกจากเลขชี้กำลังได้เลยโดยไม่ต้องนับศูนย์

🎯 Key takeaways

$a^{n}$ คือ $a$ คูณกัน $n$ ตัว · $a$ = ฐาน · $n$ = เลขชี้กำลัง
$(- 2)^{4} = 16$ แต่ $- 2^{4} = - 16$ — วงเล็บเปลี่ยนคำตอบ
ฐานเดียวกันเท่านั้นจึงบวก/ลบเลขชี้กำลังได้: $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ , $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$
$a^{0} = 1$ เมื่อ $a \neq = 0$ เพราะเป็นค่าเดียวที่ทำให้กฎอื่นไม่ขัดกัน
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์: $A \times 1 0^{n}$ โดย $1 \leq A < 10$

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena