บทที่ 2

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

Derivatives

อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง — ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดหนึ่ง ซึ่งเปลี่ยนคำถามเรื่องการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดให้คำนวณได้

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.6
Common Core (US): —
Cambridge: A Level — Differentiation

2.1 นิยามของอนุพันธ์

นิยามด้วยลิมิต

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

เศษคือการเปลี่ยนแปลงของ $y$ · ส่วนคือการเปลี่ยนแปลงของ $x$ · ทั้งก้อนจึงคือความชัน

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ความชันของเส้นตรงหาได้ง่ายเพราะคงที่ · แต่เส้นโค้งมีความชันต่างกันทุกจุด · วิธีแก้คือเอาสองจุดบนเส้นโค้งมาหาความชันของเส้นตัด แล้ว เลื่อนสองจุดให้ชิดกันจนแทบเป็นจุดเดียว ซึ่งก็คือการให้ $h \to 0$ พอดี

ตัวอย่าง

จงหา $f^{'} (x)$ ของ $f (x) = x^{2}$ จากนิยาม

วิธีทำ

1. $f (x + h) = (x + h)^{2} = x^{2} + 2 x h + h^{2}$
2. $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = \frac{2 x h + h ^{2}}{h}$
3. $= 2 x + h$ เมื่อ $h \neq = 0$
4. $lim_{h \to 0} (2 x + h) = 2 x$

ตอบ $f^{'} (x) = 2 x$

📖 อีก 3 หัวข้อของบทนี้กำลังตรวจทาน

เนื้อหาเขียนเสร็จแล้วทั้งบท แต่เราอ่านทวนเองทีละหัวข้อก่อนเปิดให้อ่าน — คณิตศาสตร์ที่ยังไม่มีคนตรวจไม่ควรอยู่หน้าเว็บ · หัวข้อที่เปิดแล้วอ่านได้เต็มตามปกติ ไม่มีการตัดทอน

อ่านแล้ว ลองทำโจทย์เลย

สร้างใบงานหัวข้อนี้พร้อมเฉลย หรือจับเวลาทำสนามสอบจำลอง

สร้างใบงาน สนามซ้อมโจทย์