บทที่ 1

ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

Limits and Continuity

แนวคิดที่แคลคูลัสทั้งวิชาตั้งอยู่บนมัน — ค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้ ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่ฟังก์ชันมีจริงที่จุดนั้น

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.6
Common Core (US): —
Cambridge: A Level — Differentiation: limits and continuity

1.1 ความคิดเรื่องลิมิต

คำถามของลิมิตไม่ใช่ “ฟังก์ชันมีค่าเท่าไรที่จุดนี้” แต่คือ “ฟังก์ชันกำลังมุ่งไปหาค่าอะไร เมื่อเข้าใกล้จุดนี้” · สองคำถามนี้ตอบไม่เหมือนกันได้ และความต่างนั้นคือหัวใจของบท

สัญลักษณ์ลิมิต

x \to a lim f (x) = L

อ่านว่า เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$ ค่าของ $f (x)$ เข้าใกล้ $L$

ตัวอย่าง

จงหา $lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$

วิธีทำ

1.แทน $x = 2$ ตรง ๆ ได้ $\frac{0}{0}$ ซึ่งไม่นิยาม
2.แยกตัวประกอบตัวเศษ: $\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2}$
3.เมื่อ $x \neq = 2$ ตัดทอนได้เหลือ $x + 2$
4. $lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$

ตอบ $4$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ฟังก์ชันในตัวอย่างข้างบน ไม่มีค่าที่ $x = 2$ เลย เพราะตัวส่วนเป็นศูนย์ · แต่ลิมิตยังมีค่า 4 · การตัดทอน $x - 2$ ทำได้เพราะลิมิตสนใจค่าที่ $x$ ใกล้ 2 ไม่ใช่ที่ $x$ เท่ากับ 2 พอดี

ข้อควรระวัง

$\frac{0}{0}$ ไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นสัญญาณว่าต้องจัดรูปก่อน · วิธีที่ใช้บ่อยคือแยกตัวประกอบแล้วตัดทอน หรือคูณด้วยสังยุคเมื่อมีราก

📖 อีก 3 หัวข้อของบทนี้กำลังตรวจทาน

เนื้อหาเขียนเสร็จแล้วทั้งบท แต่เราอ่านทวนเองทีละหัวข้อก่อนเปิดให้อ่าน — คณิตศาสตร์ที่ยังไม่มีคนตรวจไม่ควรอยู่หน้าเว็บ · หัวข้อที่เปิดแล้วอ่านได้เต็มตามปกติ ไม่มีการตัดทอน

อ่านแล้ว ลองทำโจทย์เลย

สร้างใบงานหัวข้อนี้พร้อมเฉลย หรือจับเวลาทำสนามสอบจำลอง

สร้างใบงาน สนามซ้อมโจทย์