บทที่ 3

การประยุกต์ของอนุพันธ์

Applications of Derivatives

ใช้อนุพันธ์หาค่าสูงสุดและต่ำสุด เขียนกราฟจากพฤติกรรมของฟังก์ชัน และแก้โจทย์อัตราสัมพัทธ์ที่ปริมาณสองอย่างเปลี่ยนไปพร้อมกัน

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาเพิ่มเติม ม.6
Common Core (US): —
Cambridge: A Level — Applications of differentiation

3.1 ค่าวิกฤตและค่าสุดขีด

นิยาม

ค่าวิกฤต (Critical value)

ค่า $x$ ที่ทำให้ $f^{'} (x) = 0$ หรือ $f^{'} (x)$ หาค่าไม่ได้ · ค่าสุดขีดเกิดได้เฉพาะที่ค่าวิกฤตเท่านั้น

หาค่าสูงสุดและต่ำสุดสัมพัทธ์

1หา $f^{'} (x)$ แล้วแก้ $f^{'} (x) = 0$
2วางค่าวิกฤตบนเส้นจำนวน แล้วทดสอบเครื่องหมายของ $f^{'}$ ในแต่ละช่วง
3เครื่องหมายเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ → ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
4เครื่องหมายเปลี่ยนจากลบเป็นบวก → ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
5เครื่องหมายไม่เปลี่ยน → ไม่ใช่ค่าสุดขีด

การทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง

f^{'} (c) = 0 และ f^{''} (c) > 0 \Rightarrow ต่ำสุด f^{''} (c) < 0 \Rightarrow สูงสุด

ถ้า $f^{''} (c) = 0$ การทดสอบนี้ไม่ให้คำตอบ ต้องกลับไปใช้การทดสอบเครื่องหมายของ $f^{'}$

ตัวอย่าง

จงหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$

วิธีทำ

1. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x - 3) (x + 1)$
2.ค่าวิกฤต: $x = 3$ และ $x = - 1$
3. $f^{''} (x) = 6 x - 6$
4. $f^{''} (- 1) = - 12 < 0$ จึงเป็นค่าสูงสุด · $f (- 1) = 10$
5. $f^{''} (3) = 12 > 0$ จึงเป็นค่าต่ำสุด · $f (3) = - 22$

ตอบ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ $10$ ที่ $x = - 1$ · ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ $- 22$ ที่ $x = 3$

ข้อควรระวัง

$f^{'} (c) = 0$ ไม่ได้แปลว่าเป็นค่าสุดขีดเสมอ · $f (x) = x^{3}$ มี $f^{'} (0) = 0$ แต่กราฟผ่านไปเฉย ๆ ไม่ได้สูงสุดหรือต่ำสุด · ต้องตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายจริงเสมอ

📖 อีก 3 หัวข้อของบทนี้กำลังตรวจทาน

เนื้อหาเขียนเสร็จแล้วทั้งบท แต่เราอ่านทวนเองทีละหัวข้อก่อนเปิดให้อ่าน — คณิตศาสตร์ที่ยังไม่มีคนตรวจไม่ควรอยู่หน้าเว็บ · หัวข้อที่เปิดแล้วอ่านได้เต็มตามปกติ ไม่มีการตัดทอน

อ่านแล้ว ลองทำโจทย์เลย

สร้างใบงานหัวข้อนี้พร้อมเฉลย หรือจับเวลาทำสนามสอบจำลอง

สร้างใบงาน สนามซ้อมโจทย์