ลำดับและอนุกรม

Sequences and Series

รูปแบบของตัวเลขที่เรียงต่อกันตามกฎ และผลรวมของมัน — เครื่องมือที่บทดอกเบี้ยและบทลิมิตใน ม.6 จะเรียกใช้ทันที

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตรายวิชาพื้นฐานและเพิ่มเติม ม.5
Common Core (US): F-BF, A-SSE
Cambridge: AS Level — Sequences and series

7.1 ลำดับเลขคณิต

นิยาม

ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)

ลำดับที่ผลต่างระหว่างพจน์ที่ติดกัน คงที่ เรียกผลต่างนั้นว่า $d$ · เช่น $3, 7, 11, 15, \dots$ มี $d = 4$

พจน์ทั่วไปและผลบวก

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

สูตรผลบวกมาจากเรื่องเล่าเกี่ยวกับเกาส์วัยเด็ก — จับหัวกับท้ายมาบวกกัน $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98$ ได้ 101 เท่ากันหมด $50$ คู่ · จึงเป็น “จำนวนคู่ คูณ ผลบวกหัวท้าย” ซึ่งก็คือ $\frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ พอดี

ตัวอย่าง

ลำดับ $5, 9, 13, \dots$ จงหาพจน์ที่ 20 และผลบวก 20 พจน์แรก

วิธีทำ

1. $a_{1} = 5$ , $d = 4$
2. $a_{20} = 5 + 19 (4) = 81$
3. $S_{20} = \frac{20}{2} (5 + 81) = 10 \times 86$

ตอบ $a_{20} = 81$ · $S_{20} = 860$

ข้อควรระวัง

สูตรใช้ $(n - 1) d$ ไม่ใช่ $n d$ · เพราะจากพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 20 บวก $d$ ไปแค่ 19 ครั้ง · เป็นข้อผิดพลาดที่พบมากที่สุดในหัวข้อนี้

📖 อีก 3 หัวข้อของบทนี้กำลังตรวจทาน

เนื้อหาเขียนเสร็จแล้วทั้งบท แต่เราอ่านทวนเองทีละหัวข้อก่อนเปิดให้อ่าน — คณิตศาสตร์ที่ยังไม่มีคนตรวจไม่ควรอยู่หน้าเว็บ · หัวข้อที่เปิดแล้วอ่านได้เต็มตามปกติ ไม่มีการตัดทอน

อ่านแล้ว ลองทำโจทย์เลย

สร้างใบงานหัวข้อนี้พร้อมเฉลย หรือจับเวลาทำสนามสอบจำลอง

สร้างใบงาน สนามซ้อมโจทย์