พีระมิด กรวย และทรงกลม

Pyramids, Cones and Spheres

รูปทรงที่หน้าตัดไม่คงที่ — สูตรปริมาตรจึงมีเศษหนึ่งส่วนสามเข้ามา พร้อมเหตุผลว่าทำไม และวิธีแยกความสูงเอียงออกจากความสูงตรง

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตเล่ม 2 บทที่ 3
Common Core (US): 8.G, G-GMD
Cambridge: Lower Secondary Stage 9 — Shapes and measurements

8.1 พีระมิด

นิยาม

พีระมิด (Pyramid)

รูปทรงที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และมีหน้าข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่จุดยอดจุดเดียว · เรียกชื่อตามรูปของฐาน

พีระมิดฐานพื้นที่ $B$ สูง $h$

V = \frac{1}{3} B h S = B + \frac{1}{2} P ℓ

$P$ = ความยาวรอบฐาน · $ℓ$ = สูงเอียง ของหน้าข้าง ไม่ใช่ความสูงของพีระมิด

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมต้องมี $\frac{1}{3}$ ? เพราะพีระมิดสามอันที่มีฐานและความสูงเท่ากับปริซึม ประกอบกันได้พอดีเป็นปริซึมอันเดียว · ตัวเลขนี้ไม่ได้มาลอย ๆ แต่มาจากการที่หน้าตัดเล็กลงเรื่อย ๆ ไม่ใช่คงที่แบบปริซึม

ข้อควรระวัง

ความสูง กับ ความสูงเอียง เป็นคนละตัวและมักถูกสลับ · ความสูงคือระยะตั้งฉากจากยอดถึงฐาน ส่วนความสูงเอียงคือระยะจากยอดถึงกึ่งกลางขอบฐาน · ทั้งสองต่อกันด้วยพีทาโกรัส

ตัวอย่าง

พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว 12 ซม. สูง 8 ซม. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิว

วิธีทำ

1. $B = 1 2^{2} = 144$ ตร.ซม. · $V = \frac{1}{3} (144) (8) = 384$ ลบ.ซม.
2.หาความสูงเอียง: ครึ่งด้านฐานคือ 6 · $ℓ = 8^{2} + 6^{2} = 10$ ซม.
3. $P = 4 \times 12 = 48$ ซม.
4. $S = 144 + \frac{1}{2} (48) (10) = 144 + 240$

ตอบ ปริมาตร $384$ ลบ.ซม. · พื้นที่ผิว $384$ ตร.ซม.

📖 อีก 3 หัวข้อของบทนี้กำลังตรวจทาน

เนื้อหาเขียนเสร็จแล้วทั้งบท แต่เราอ่านทวนเองทีละหัวข้อก่อนเปิดให้อ่าน — คณิตศาสตร์ที่ยังไม่มีคนตรวจไม่ควรอยู่หน้าเว็บ · หัวข้อที่เปิดแล้วอ่านได้เต็มตามปกติ ไม่มีการตัดทอน

อ่านแล้ว ลองทำโจทย์เลย

สร้างใบงานหัวข้อนี้พร้อมเฉลย หรือจับเวลาทำสนามสอบจำลอง

สร้างใบงาน สนามซ้อมโจทย์