Chapter 10

สถิติ

Statistics

ต่อจากค่ากลางใน ม.2 ด้วยการวัดการกระจาย — ข้อมูลสองชุดที่ค่าเฉลี่ยเท่ากันอาจต่างกันคนละเรื่อง และบทนี้บอกว่าต่างอย่างไร

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: สถิติและความน่าจะเป็นเล่ม 2 บทที่ 5
Common Core (US): S-ID, 6.SP
Cambridge: Lower Secondary Stage 9 — Statistics and probability

10.1 ทำไมค่ากลางอย่างเดียวไม่พอ

ห้อง A ได้คะแนน 49, 50, 51 · ห้อง B ได้ 10, 50, 90 · ค่าเฉลี่ยเท่ากันคือ 50 ทั้งคู่ แต่สองห้องนี้ไม่เหมือนกันเลย · สิ่งที่แยกมันออกจากกันคือ การกระจาย

นิยาม

การกระจายของข้อมูล (Dispersion)

การวัดว่าข้อมูลอยู่ชิดกันหรือกระจายห่างกันเพียงใด · ค่ากลางบอกว่า “อยู่ตรงไหน” แต่การกระจายบอกว่า “เกาะกลุ่มแค่ไหน”

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ในโลกจริง การกระจายมักสำคัญกว่าค่าเฉลี่ย — เวลาเดินทางเฉลี่ย 30 นาทีที่แกว่งระหว่าง 25 ถึง 35 กับที่แกว่งระหว่าง 10 ถึง 90 ทำให้วางแผนชีวิตต่างกันสิ้นเชิง แม้ตัวเลขเฉลี่ยจะเท่ากัน

10.2 พิสัยและควอร์ไทล์

นิยาม

พิสัย (Range)

ค่าสูงสุดลบค่าต่ำสุด · คำนวณง่ายที่สุด แต่ ใช้ข้อมูลแค่สองตัว จึงไวต่อค่าผิดปกติอย่างมาก

นิยาม

ควอร์ไทล์ (Quartiles)

ค่าที่แบ่งข้อมูลที่เรียงแล้วออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กัน · $Q_{1}$ คือตำแหน่งหนึ่งในสี่ · $Q_{2}$ คือมัธยฐาน · $Q_{3}$ คือตำแหน่งสามในสี่

พิสัยระหว่างควอร์ไทล์

I QR = Q_{3} - Q_{1}

ครอบคลุมข้อมูลตรงกลางร้อยละ 50 จึงไม่ถูกค่าสุดโต่งดึง

ตัวอย่าง

ข้อมูล 3, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18 จงหาพิสัยและพิสัยระหว่างควอร์ไทล์

วิธีทำ

1.พิสัย $= 18 - 3 = 15$
2.ข้อมูลมี 8 ตัว มัธยฐานคือค่าเฉลี่ยของตัวที่ 4 กับ 5 $= \frac{8 + 10}{2} = 9$
3.ครึ่งล่างคือ 3, 5, 7, 8 จึง $Q_{1} = \frac{5 + 7}{2} = 6$
4.ครึ่งบนคือ 10, 12, 15, 18 จึง $Q_{3} = \frac{12 + 15}{2} = 13.5$
5. $I QR = 13.5 - 6 = 7.5$

ตอบ พิสัย $15$ · $I QR = 7.5$

เคล็ดลับ

แผนภาพกล่อง (box plot) วาดจากตัวเลขห้าตัวคือ ต่ำสุด $Q_{1}$ มัธยฐาน $Q_{3}$ สูงสุด · เห็นทั้งค่ากลางและการกระจายพร้อมกันในภาพเดียว จึงเป็นเครื่องมือเทียบข้อมูลหลายชุดที่ดีที่สุดในระดับนี้

10.3 การแปลความหมายและข้อควรระวัง

●
คำถามที่ต้องถามทุกครั้งที่เห็นสถิติ
- เก็บข้อมูลจากใคร — กลุ่มตัวอย่างเป็นตัวแทนของประชากรจริงหรือไม่
- เก็บกี่ตัว — ข้อมูล 10 ตัวสรุปเรื่องคนทั้งประเทศไม่ได้
- ถามอย่างไร — คำถามชี้นำทำให้คำตอบเอียงตั้งแต่ต้นทาง
- มีอะไรที่ไม่ได้แสดง — กราฟที่ตัดบางช่วงทิ้งเล่าเรื่องได้คนละแบบ

ข้อควรระวัง

ความสัมพันธ์ไม่ใช่การเป็นเหตุเป็นผล · ยอดขายไอศกรีมกับจำนวนคนจมน้ำขึ้นลงพร้อมกัน ไม่ได้แปลว่าไอศกรีมทำให้คนจมน้ำ — ทั้งคู่ขึ้นกับฤดูร้อน · เป็นข้อผิดพลาดที่พบทั้งในข้อสอบและในข่าวจริง

ตัวอย่าง

โรงเรียนสำรวจความพึงพอใจต่อโรงอาหาร โดยแจกแบบสอบถามให้เฉพาะนักเรียนที่กำลังกินอยู่ในโรงอาหาร ผลออกมาว่าร้อยละ 92 พอใจ ข้อสรุปนี้เชื่อถือได้หรือไม่

วิธีทำ

1.คนที่ไม่พอใจโรงอาหารมักไม่มากินที่นั่นตั้งแต่แรก
2.กลุ่มตัวอย่างจึงเอียงไปทางคนที่พอใจอยู่แล้ว

ตอบ เชื่อถือไม่ได้ · กลุ่มตัวอย่างไม่เป็นตัวแทนของนักเรียนทั้งโรงเรียน

10.4 สรุปเครื่องมือทางสถิติที่ต้องรู้

คำถาม	เครื่องมือ
ข้อมูลอยู่ตรงไหนโดยรวม	ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม
ข้อมูลกระจายแค่ไหน	พิสัย พิสัยระหว่างควอร์ไทล์
รูปร่างการแจกแจงเป็นอย่างไร	ฮิสโทแกรม แผนภาพจุด
เทียบข้อมูลหลายชุด	แผนภาพกล่อง
มีค่าผิดปกติไหม	แผนภาพกล่อง หรือดูค่าที่ห่างจาก $Q_{1}$ และ $Q_{3}$ มาก

เลือกเครื่องมือให้ตรงกับคำถาม

ขั้นตอนการวิเคราะห์ข้อมูลชุดหนึ่ง

1เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก
2หาค่ากลางที่เหมาะกับลักษณะข้อมูล
3หาการกระจายด้วยพิสัยหรือ $I QR$
4วาดภาพเพื่อดูรูปร่างและค่าผิดปกติ
5สรุปเป็นประโยคที่ระบุทั้งค่ากลางและการกระจาย ไม่ใช่ค่ากลางอย่างเดียว

เคล็ดลับ

เขียนข้อสรุปให้ครบทั้งสองด้านเสมอ เช่น “คะแนนเฉลี่ย 50 และกระจายแคบ ระหว่าง 45 ถึง 55” · ข้อสรุปที่มีแต่ค่าเฉลี่ยเป็นข้อสรุปที่บอกไม่หมด และข้อสอบระดับ ม.ปลายจะหักคะแนนตรงนี้

🎯 Key takeaways

ค่าเฉลี่ยเท่ากันไม่ได้แปลว่าข้อมูลเหมือนกัน — ต้องดูการกระจายด้วย
พิสัยคำนวณง่ายแต่ใช้ข้อมูลแค่สองตัว จึงไวต่อค่าผิดปกติ
$I QR = Q_{3} - Q_{1}$ ครอบคลุมข้อมูลตรงกลางร้อยละ 50 จึงทนต่อค่าสุดโต่ง
แผนภาพกล่องแสดงค่ากลางและการกระจายพร้อมกัน เหมาะกับการเทียบหลายชุด
ความสัมพันธ์ไม่ใช่การเป็นเหตุเป็นผล และกลุ่มตัวอย่างที่เอียงทำให้ข้อสรุปเชื่อถือไม่ได้

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena