Chapter 4

การแปลงทางเรขาคณิต

Geometric Transformations

การย้ายรูปโดยไม่เปลี่ยนรูปร่างและขนาด สามแบบคือเลื่อนขนาน สะท้อน และหมุน — เป็นพื้นฐานของบทความเท่ากันทุกประการที่จะตามมา

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตเล่ม 1 บทที่ 4
Common Core (US): 8.G
Cambridge: Lower Secondary Stage 8 — Position and transformation

4.1 การเลื่อนขนาน

การแปลงทั้งสามแบบในบทนี้มีสิ่งที่เหมือนกันอย่างหนึ่ง คือ รูปใหม่เท่ากันทุกประการกับรูปเดิมเสมอ เปลี่ยนแค่ตำแหน่งหรือทิศทาง ไม่เคยเปลี่ยนขนาด

นิยาม

การเลื่อนขนาน (Translation)

การเลื่อนทุกจุดของรูปไปในทิศทางเดียวกันและเป็นระยะเท่ากัน · กำหนดได้ด้วย เวกเตอร์ของการเลื่อน ซึ่งบอกว่าไปทางขวากี่หน่วยและขึ้นกี่หน่วย

การเลื่อนขนานบนระนาบพิกัด

(x, y) ⟼ (x + a, y + b)

$a$ = เลื่อนตามแกน $x$ (บวกคือไปขวา) · $b$ = เลื่อนตามแกน $y$ (บวกคือขึ้น)

ตัวอย่าง

จุด $A (2, - 3)$ ถูกเลื่อนขนานไปทางขวา 5 หน่วย และขึ้น 4 หน่วย จงหาพิกัดใหม่

วิธีทำ

1.ไปขวา 5 หมายถึงบวก 5 ที่ $x$ : $2 + 5 = 7$
2.ขึ้น 4 หมายถึงบวก 4 ที่ $y$ : $- 3 + 4 = 1$

ตอบ $A^{'} (7, 1)$

เคล็ดลับ

ทุกจุดของรูปใช้ตัวเลขคู่เดียวกัน · ถ้าเลื่อนรูปสามเหลี่ยม ให้บวกเลขคู่นั้นกับพิกัดของจุดยอดทั้งสามจุด แล้วต่อจุดใหม่เข้าด้วยกัน ไม่ต้องคำนวณอะไรเพิ่ม

4.2 การสะท้อน

นิยาม

การสะท้อน (Reflection)

การพลิกรูปข้ามเส้นตรงหนึ่งเส้นที่เรียกว่า เส้นสะท้อน · จุดเดิมกับจุดใหม่อยู่ห่างจากเส้นสะท้อนเท่ากัน และเส้นที่เชื่อมสองจุดนั้นตั้งฉากกับเส้นสะท้อน

สะท้อนข้าม	$(x, y)$ กลายเป็น	จำง่าย ๆ
แกน $x$	$(x, - y)$	$y$ เปลี่ยนเครื่องหมาย
แกน $y$	$(- x, y)$	$x$ เปลี่ยนเครื่องหมาย
เส้น $y = x$	$(y, x)$	สลับที่กัน
จุดกำเนิด	$(- x, - y)$	เปลี่ยนเครื่องหมายทั้งคู่

การสะท้อนข้ามเส้นที่พบบ่อย

ตัวอย่าง

จงหาภาพของ $P (4, - 1)$ เมื่อสะท้อนข้ามแกน $y$

วิธีทำ

1.สะท้อนข้ามแกน $y$ ทำให้ $x$ เปลี่ยนเครื่องหมาย ส่วน $y$ คงเดิม
2. $x = 4 \to - 4$ และ $y = - 1$ คงเดิม

ตอบ $P^{'} (- 4, - 1)$

ข้อควรระวัง

สะท้อนข้าม แกน $x$ ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของ $y$ — ตรงข้ามกับที่คนส่วนใหญ่เดา · วิธีกันพลาดคือวาดรูปคร่าว ๆ แล้วดูว่าจุดควรไปอยู่ควอดรันต์ไหน ก่อนเขียนคำตอบ

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

การสะท้อนเป็นการแปลงเดียวในสามแบบนี้ที่ กลับด้านซ้าย-ขวา · ถ้าเขียนตัวอักษร R แล้วสะท้อน จะได้ R กลับด้าน แต่ถ้าเลื่อนขนานหรือหมุน ตัว R ยังอ่านได้ตามปกติเสมอ

4.3 การหมุน

นิยาม

การหมุน (Rotation)

การหมุนรูปรอบจุดหนึ่งที่เรียกว่า จุดหมุน เป็นมุมที่กำหนด · ต้องระบุสามอย่างเสมอ คือจุดหมุน ขนาดของมุม และทิศทาง (ตามเข็มหรือทวนเข็ม)

มุม	$(x, y)$ กลายเป็น
$9 0^{\circ}$	$(- y, x)$
$18 0^{\circ}$	$(- x, - y)$
$27 0^{\circ}$	$(y, - x)$
$36 0^{\circ}$	$(x, y)$ — กลับที่เดิม

การหมุนรอบจุดกำเนิด (ทวนเข็มนาฬิกา)

ตัวอย่าง

จงหาภาพของ $Q (3, 5)$ เมื่อหมุนรอบจุดกำเนิด $9 0^{\circ}$ ทวนเข็มนาฬิกา

วิธีทำ

1.ใช้กฎ $(x, y) \to (- y, x)$
2. $x = 3$ และ $y = 5$ จึงได้ $(- 5, 3)$

ตอบ $Q^{'} (- 5, 3)$

เคล็ดลับ

หมุน $27 0^{\circ}$ ทวนเข็ม เท่ากับหมุน $9 0^{\circ}$ ตามเข็ม — ผลลัพธ์อันเดียวกัน · จำกฎแค่ $9 0^{\circ}$ กับ $18 0^{\circ}$ ก็พอ แล้วแปลงมุมที่เหลือให้เข้ารูป

4.4 สมบัติร่วมของการแปลง

●
สิ่งที่ ไม่เปลี่ยน ทั้งสามการแปลง
- ความยาวของด้านทุกด้าน
- ขนาดของมุมทุกมุม
- พื้นที่ของรูป
- รูปเดิมกับรูปใหม่จึง เท่ากันทุกประการ เสมอ
●
สิ่งที่ เปลี่ยน
- ตำแหน่ง — เปลี่ยนทุกแบบ
- ทิศทางการหัน — เปลี่ยนเมื่อหมุนหรือสะท้อน
- การเรียงซ้าย-ขวา — เปลี่ยนเฉพาะการสะท้อน

นิยาม

สมมาตรแบบพับครึ่ง (Line symmetry)

รูปที่พับตามเส้นหนึ่งแล้วสองข้างทับกันสนิท เส้นนั้นเรียกว่าแกนสมมาตร · รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมี 4 แกน · วงกลมมีนับไม่ถ้วน

ตัวอย่าง

รูปสามเหลี่ยม $A B C$ มีจุดยอด $A (1, 1), B (4, 1), C (1, 5)$ ถูกสะท้อนข้ามแกน $x$ แล้วเลื่อนขนานขึ้น 2 หน่วย จงหาพิกัดของ $C$ หลังการแปลงทั้งสอง

วิธีทำ

1.สะท้อนข้ามแกน $x$ : $C (1, 5) \to (1, - 5)$
2.เลื่อนขึ้น 2: $(1, - 5) \to (1, - 3)$

ตอบ $C^{''} (1, - 3)$

ข้อควรระวัง

การแปลงหลายขั้น ลำดับสำคัญ — สะท้อนก่อนเลื่อน กับเลื่อนก่อนสะท้อน มักได้คนละคำตอบ · ทำทีละขั้นแล้วจดพิกัดกลางไว้ อย่ารวบขั้นตอน

🎯 Key takeaways

การเลื่อนขนาน สะท้อน และหมุน ให้รูปที่เท่ากันทุกประการกับรูปเดิมเสมอ
เลื่อนขนาน: $(x, y) \to (x + a, y + b)$ · ใช้ตัวเลขคู่เดียวกันกับทุกจุด
สะท้อนแกน $x$ เปลี่ยนเครื่องหมาย $y$ · สะท้อนแกน $y$ เปลี่ยนเครื่องหมาย $x$
หมุนรอบจุดกำเนิดทวนเข็ม $9 0^{\circ}$ คือ $(x, y) \to (- y, x)$ และ $18 0^{\circ}$ คือ $(- x, - y)$
การสะท้อนเป็นแบบเดียวที่กลับด้านซ้าย-ขวา · การแปลงหลายขั้นต้องทำตามลำดับ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena