Chapter 3

ปริซึมและทรงกระบอก

Prisms and Cylinders

รูปทรงสามมิติที่มีหน้าตัดเหมือนกันตลอดความยาว — หาพื้นที่ผิวและปริมาตรจากหลักการเดียว คือหน้าตัดคูณความสูง แทนการท่องสูตรทีละรูป

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตเล่ม 1 บทที่ 3
Common Core (US): 8.G, 7.G
Cambridge: Lower Secondary Stage 8 — Shapes and measurements

3.1 ปริซึมคืออะไร

นิยาม

ปริซึม (Prism)

รูปทรงสามมิติที่มีหน้าตัดหัวท้ายเป็นรูปหลายเหลี่ยม เท่ากันทุกประการและขนานกัน ส่วนหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก · เรียกชื่อปริซึมตามรูปของฐาน

●
ส่วนประกอบที่ต้องเรียกให้ถูก
- ฐาน — หน้าตัดสองหน้าที่เหมือนกัน (ไม่จำเป็นต้องอยู่ด้านล่าง)
- หน้าข้าง — รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เชื่อมฐานทั้งสอง
- ความสูง — ระยะตั้งฉากระหว่างฐานทั้งสอง ไม่ใช่ความยาวของด้านเอียง
●
ตัวอย่างที่พบบ่อย
- ปริซึมสามเหลี่ยม — เช่นแท่งแก้วปริซึมในวิชาวิทยาศาสตร์
- ปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก — กล่องกระดาษทั่วไป
- ปริซึมหกเหลี่ยม — ดินสอไม้
●
สิ่งที่ ไม่ใช่ ปริซึม
- พีระมิด — หน้าตัดเล็กลงเรื่อย ๆ จนเหลือเป็นจุด
- กรวยและทรงกลม — ไม่มีหน้าตัดเป็นรูปหลายเหลี่ยม

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมปริซึมทุกชนิดใช้สูตรปริมาตรเดียวกันได้? เพราะรูปทรงถูก “ปั๊ม” จากหน้าตัดเดียวกันซ้ำ ๆ ตลอดความสูง · ปริมาตรจึงเป็นแค่พื้นที่หน้าตัดคูณความสูง ไม่ต้องมีสูตรแยกรายรูป

3.2 พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม

ปริมาตรของปริซึม

V = B \times h

$B$ = พื้นที่ฐาน (หน้าตัด) · $h$ = ความสูง · หน่วยเป็นลูกบาศก์หน่วย

พื้นที่ผิวของปริซึม

S = 2 B + P h

$P$ = ความยาวรอบรูปของฐาน · $P h$ คือพื้นที่ผิวข้างที่คลี่ออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าผืนเดียว

เคล็ดลับ

ถ้านึกสูตรพื้นที่ผิวไม่ออก ให้ คลี่กล่องออก ในหัว จะเห็นฐานสองอันกับสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาวหนึ่งผืน ที่กว้างเท่าความยาวรอบรูปของฐาน และสูงเท่าความสูงของปริซึม

ตัวอย่าง

ปริซึมสามเหลี่ยมมีฐานเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านประกอบมุมฉากยาว 3 และ 4 เซนติเมตร สูง 10 เซนติเมตร จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิว

วิธีทำ

1.พื้นที่ฐาน $B = \frac{1}{2} (3) (4) = 6$ ตารางเซนติเมตร
2. $V = B h = 6 \times 10 = 60$ ลูกบาศก์เซนติเมตร
3.ด้านที่สามของฐานคือ $3^{2} + 4^{2} = 5$ จึงได้ $P = 3 + 4 + 5 = 12$ เซนติเมตร
4. $S = 2 B + P h = 2 (6) + 12 (10) = 12 + 120$

ตอบ ปริมาตร $60$ ลูกบาศก์เซนติเมตร · พื้นที่ผิว $132$ ตารางเซนติเมตร

ข้อควรระวัง

ในปริซึมสามเหลี่ยมมี “ความสูง” สองตัวที่คนละความหมาย — ความสูงของสามเหลี่ยมฐาน ใช้หาพื้นที่ฐาน กับ ความสูงของปริซึม ที่เอาไปคูณ · สลับสองตัวนี้คือความผิดพลาดที่พบมากที่สุดในบทนี้

3.3 ทรงกระบอก

ทรงกระบอกคือปริซึมที่ฐานเป็นวงกลม · หลักการเดิมทุกอย่าง เปลี่ยนแค่สูตรพื้นที่ฐานกับความยาวรอบรูป

ทรงกระบอกรัศมี $r$ สูง $h$

V = π r^{2} h S = 2 π r^{2} + 2 π r h

$2 π r^{2}$ คือฝาสองด้าน · $2 π r h$ คือผิวข้างที่คลี่ออกเป็นสี่เหลี่ยมกว้าง $2 π r$ สูง $h$

รูปทรง	พื้นที่ฐาน $B$	ความยาวรอบรูป $P$	ปริมาตร
ปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก	$w \times l$	$2 (w + l)$	$w l h$
ปริซึมสามเหลี่ยม	$\frac{1}{2} \times$ ฐาน $\times$ สูง	ผลบวกของสามด้าน	$B h$
ทรงกระบอก	$π r^{2}$	$2 π r$	$π r^{2} h$

สามรูปที่ใช้หลักการเดียวกัน

ตัวอย่าง 1

กระป๋องทรงกระบอกรัศมี 7 เซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร จงหาปริมาตร (ใช้ $π \approx \frac{22}{7}$ )

วิธีทำ

1. $V = π r^{2} h = \frac{22}{7} \times 7^{2} \times 20$
2. $= \frac{22}{7} \times 49 \times 20$
3. $= 22 \times 7 \times 20$

ตอบ $3, 080$ ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตัวอย่าง 2

ถังน้ำทรงกระบอกเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 เมตร สูง 1.4 เมตร จุน้ำได้กี่ลิตร

วิธีทำ

1.รัศมี $r = 0.5$ เมตร (โจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลาง ต้องหารสองก่อน)
2. $V = π (0.5)^{2} (1.4) \approx 3.14 \times 0.25 \times 1.4 \approx 1.099$ ลูกบาศก์เมตร
3. $1$ ลูกบาศก์เมตรเท่ากับ $1, 000$ ลิตร

ตอบ ประมาณ $1, 099$ ลิตร

ข้อควรระวัง

โจทย์ชอบให้ เส้นผ่านศูนย์กลาง แต่สูตรใช้ รัศมี · ลืมหารสองแล้วปริมาตรจะผิดไปถึง 4 เท่า เพราะรัศมีถูกยกกำลังสอง

3.4 การนำไปใช้

●
แปลคำถามให้เป็นสูตร
- “ต้องใช้กระดาษห่อกี่ตารางเซนติเมตร” คือพื้นที่ผิว
- “จุน้ำได้เท่าไร / ใช้ปูนกี่คิว” คือปริมาตร
- “ทาสีเฉพาะรอบข้าง” คือพื้นที่ผิวข้าง $P h$ ไม่ต้องบวกฐาน
●
การเปลี่ยนหน่วยที่ใช้บ่อย
- $1$ ลูกบาศก์เมตร $= 1, 000, 000$ ลูกบาศก์เซนติเมตร $= 1, 000$ ลิตร
- $1$ ลิตร $= 1, 000$ ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตัวอย่าง

สระว่ายน้ำรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 5 เมตร ยาว 12 เมตร ลึกสม่ำเสมอ 1.5 เมตร ต้องเติมน้ำกี่ลิตรจึงเต็ม

วิธีทำ

1.สระเป็นปริซึมสี่เหลี่ยม จึงได้ $V = 5 \times 12 \times 1.5 = 90$ ลูกบาศก์เมตร
2.แปลงหน่วย: $90 \times 1, 000 = 90, 000$ ลิตร

ตอบ $90, 000$ ลิตร

เคล็ดลับ

ตรวจคำตอบด้วย หน่วย เสมอ — พื้นที่ผิวต้องออกมาเป็นตารางหน่วย ปริมาตรต้องเป็นลูกบาศก์หน่วย ถ้าหน่วยไม่ตรงกับสิ่งที่โจทย์ถาม แสดงว่าใช้สูตรผิดตั้งแต่ต้น

🎯 Key takeaways

ปริซึมคือรูปทรงที่หน้าตัดเหมือนกันตลอด · ปริมาตรเท่ากับพื้นที่ฐานคูณความสูงเสมอ
พื้นที่ผิวคือ $2 B + P h$ — คิดจากการคลี่กล่องออก ไม่ต้องท่องแยกรายรูป
ทรงกระบอกคือปริซึมฐานวงกลม: $V = π r^{2} h$ และ $S = 2 π r^{2} + 2 π r h$
ระวังความสูงของสามเหลี่ยมฐาน กับความสูงของปริซึม เป็นคนละตัวกัน
โจทย์มักให้เส้นผ่านศูนย์กลาง ต้องหารสองให้เป็นรัศมีก่อนแทนค่า

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena