Chapter 5

สมบัติของเลขยกกำลัง

Laws of Exponents

ต่อยอดจากเลขยกกำลังใน ม.1 ไปสู่กฎการคูณ หาร ยกกำลังซ้อน รวมถึงเลขชี้กำลังเป็นศูนย์และจำนวนเต็มลบ ซึ่งใช้ต่อเนื่องไปจนถึง ม.ปลาย

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 1 บทที่ 5
Common Core (US): 8.EE
Cambridge: Lower Secondary Stage 8 — Integers, powers and roots

5.1 การคูณและการหารเลขยกกำลัง

กฎสองข้อแรก

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

ใช้ได้เมื่อ ฐานเหมือนกัน เท่านั้น · ข้อหลังต้องมี $a \neq = 0$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ไม่ต้องท่อง — กางออกดูก็เห็น: $a^{3} \cdot a^{2} = (aaa) (aa) = a^{5}$ · จำนวนตัวคูณมารวมกัน เลขชี้กำลังจึงบวกกัน ส่วนการหารคือการตัดทอนออก เลขชี้กำลังจึงลบกัน

ตัวอย่าง

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $\frac{5 ^{7} \cdot 5 ^{2}}{5 ^{4}}$

วิธีทำ

1.ตัวเศษ: $5^{7} \cdot 5^{2} = 5^{7 + 2} = 5^{9}$
2.แล้วหาร: $\frac{5 ^{9}}{5 ^{4}} = 5^{9 - 4}$

ตอบ $5^{5} = 3, 125$

ข้อควรระวัง

$2^{3} \cdot 3^{2}$ รวมกันไม่ได้ เพราะฐานต่างกัน · ต้องคิดแยกเป็น $8 \times 9 = 72$ · กฎเลขชี้กำลังทุกข้อในบทนี้ต้องการฐานเดียวกันเสมอ

5.2 เลขยกกำลังของเลขยกกำลัง

กฎที่เหลืออีกสามข้อ

(a^{m})^{n} = a^{mn} (ab)^{n} = a^{n} b^{n} (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

เลขชี้กำลังกระจายเข้าไปในการคูณและการหารได้ แต่กระจายเข้าในการบวกไม่ได้

ตัวอย่าง 1

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $(2 x^{3})^{4}$

วิธีทำ

1.กระจายเลขชี้กำลังเข้าทั้งสองตัว: $2^{4} \cdot (x^{3})^{4}$
2. $2^{4} = 16$ และ $(x^{3})^{4} = x^{12}$

ตอบ $16 x^{12}$

ตัวอย่าง 2

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $\frac{( 3 a ^{2} ) ^{3}}{9 a ^{4}}$

วิธีทำ

1.ตัวเศษ: $(3 a^{2})^{3} = 27 a^{6}$
2. $\frac{27 a ^{6}}{9 a ^{4}} = 3 a^{6 - 4}$

ตอบ $3 a^{2}$

ข้อควรระวัง

$(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ · แทน $a = 3, b = 4$ จะได้ $49$ กับ $25$ ซึ่งไม่เท่ากัน · เลขชี้กำลังไม่กระจายเข้าไปในวงเล็บที่มีการบวก ต้องกระจายด้วยการคูณเต็มรูป

5.3 เลขชี้กำลังเป็นศูนย์และจำนวนเต็มลบ

นิยามที่ทำให้กฎเดิมไม่ขัดกัน

a^{0} = 1 (a \neq = 0) a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (a \neq = 0)

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไม $a^{0}$ ต้องเป็น 1? จาก $\frac{a ^{3}}{a ^{3}} = a^{3 - 3} = a^{0}$ แต่เศษกับส่วนเท่ากัน ผลหารจึงเป็น 1 · ค่านี้ไม่ได้ถูกเลือกตามใจ เป็นค่าเดียวที่ทำให้กฎการหารยังใช้ได้

●
เลขชี้กำลังลบ ไม่ได้แปลว่าค่าติดลบ
- $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ — เป็นบวก แค่เล็กลง
- $(- 2)^{3} = - 8$ — อันนี้ต่างหากที่ติดลบ เพราะ ฐาน เป็นลบ
- เครื่องหมายของคำตอบดูที่ฐาน ส่วนขนาดดูที่เลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง

จงหาค่า $(\frac{2}{3})^{- 2}$

วิธีทำ

1.เลขชี้กำลังลบของเศษส่วน คือการกลับเศษกับส่วนแล้วเปลี่ยนเป็นบวก
2. $= (\frac{3}{2})^{2}$
3. $= \frac{9}{4}$

ตอบ $\frac{9}{4}$

5.4 การคำนวณด้วยสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

A \times 1 0^{n} โดย 1 \leq A < 10 และ n เป็นจำนวนเต็ม

คูณและหารในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

1คูณหรือหารส่วนที่เป็นตัวเลข $A$ กันเอง
2บวกหรือลบเลขชี้กำลังของ 10 ตามกฎข้อ 5.1
3ปรับผลลัพธ์ให้ $A$ กลับมาอยู่ระหว่าง 1 ถึง 10 อีกครั้ง

ตัวอย่าง

จงหาค่า $(3 \times 1 0^{5}) \times (4 \times 1 0^{- 8})$

วิธีทำ

1.ตัวเลข: $3 \times 4 = 12$
2.เลขชี้กำลัง: $1 0^{5} \times 1 0^{- 8} = 1 0^{- 3}$
3.ได้ $12 \times 1 0^{- 3}$ ซึ่ง $A$ ยังเกิน 10
4.ปรับ: $12 = 1.2 \times 1 0^{1}$ จึงได้ $1.2 \times 1 0^{1} \times 1 0^{- 3}$

ตอบ $1.2 \times 1 0^{- 2}$

ปริมาณ	สัญกรณ์วิทยาศาสตร์
มวลของโลก	$5.97 \times 1 0^{24}$ กิโลกรัม
ระยะทางโลกถึงดวงจันทร์	$3.84 \times 1 0^{8}$ เมตร
เส้นผ่านศูนย์กลางของอะตอมไฮโดรเจน	$1.06 \times 1 0^{- 10}$ เมตร
มวลของอิเล็กตรอน	$9.11 \times 1 0^{- 31}$ กิโลกรัม

ขนาดที่พบในวิชาวิทยาศาสตร์

เคล็ดลับ

ประโยชน์จริงของสัญกรณ์นี้คือ เทียบขนาดได้ในหัว — $1 0^{8}$ กับ $1 0^{5}$ ต่างกันพันเท่า อ่านจากเลขชี้กำลังได้เลยโดยไม่ต้องนับศูนย์

🎯 Key takeaways

ฐานเดียวกันเท่านั้นจึงบวกหรือลบเลขชี้กำลังได้: $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ และ $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$ · $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ · แต่ $(a + b)^{n} \neq = a^{n} + b^{n}$
$a^{0} = 1$ เมื่อ $a \neq = 0$ เพราะเป็นค่าเดียวที่ทำให้กฎการหารยังใช้ได้
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ — เลขชี้กำลังลบทำให้ค่าเล็กลง ไม่ได้ทำให้ติดลบ
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ $A \times 1 0^{n}$ ต้องปรับให้ $1 \leq A < 10$ เสมอหลังคำนวณเสร็จ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena