Chapter 7

สถิติ

Statistics

อ่านและสร้างแผนภาพจุด แผนภาพต้น-ใบ ฮิสโทแกรม แล้วหาค่ากลางสามแบบ พร้อมเหตุผลว่าเมื่อไรควรใช้ตัวไหน

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: สถิติและความน่าจะเป็นเล่ม 2 บทที่ 1
Common Core (US): 8.SP, 6.SP
Cambridge: Lower Secondary Stage 8 — Statistics and probability

7.1 การนำเสนอข้อมูล

●
แผนภาพสามแบบและงานที่มันทำได้ดีที่สุด
- แผนภาพจุด — ข้อมูลไม่เยอะ เห็นค่าซ้ำและค่าผิดปกติได้ทันที
- แผนภาพต้น-ใบ — เก็บค่าจริงทุกตัวไว้ได้ ในขณะที่ยังเห็นรูปร่างการกระจาย
- ฮิสโทแกรม — ข้อมูลเยอะ เห็นรูปร่างชัด แต่ ค่าตัวจริงหายไป เหลือแค่ช่วง

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมต้องมีตั้งสามแบบ? เพราะแต่ละแบบแลกอย่างหนึ่งไปเพื่อได้อีกอย่าง · ต้น-ใบเก็บรายละเอียดครบแต่ใช้กับข้อมูลหลักร้อยไม่ไหว · ฮิสโทแกรมรับข้อมูลได้มากแต่ทิ้งรายละเอียดไป ไม่มีแบบไหนดีที่สุดในทุกสถานการณ์

ต้น (สิบ)	ใบ (หน่วย)	ค่าจริง
5	2 8	52, 58
6	0 3 5 5	60, 63, 65, 65
7	1 4 6	71, 74, 76
8	0 2 9	80, 82, 89

ตัวอย่างแผนภาพต้น-ใบ ของคะแนนสอบ 12 คน

ข้อควรระวัง

ฮิสโทแกรมกับแผนภูมิแท่งไม่ใช่อันเดียวกัน · ฮิสโทแกรมแท่งติดกัน เพราะแกนนอนเป็นค่าต่อเนื่องที่แบ่งเป็นช่วง ส่วนแผนภูมิแท่งมีช่องว่างระหว่างแท่ง เพราะแกนนอนเป็นประเภทที่แยกจากกัน

7.2 ค่ากลางของข้อมูล

นิยาม

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Mean)

ผลรวมของข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจำนวนข้อมูล · ใช้ข้อมูลทุกตัว จึง ไวต่อค่าผิดปกติ

นิยาม

มัธยฐาน (Median)

ค่าที่อยู่ตรงกลางเมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก · ถ้าจำนวนข้อมูลเป็นเลขคู่ ให้เฉลี่ยสองตัวกลาง · ทนต่อค่าผิดปกติ

นิยาม

ฐานนิยม (Mode)

ค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุด · อาจไม่มีเลย หรือมีมากกว่าหนึ่งค่าก็ได้ · เป็นค่ากลางแบบเดียวที่ใช้กับข้อมูลที่ไม่ใช่ตัวเลขได้ เช่นสีที่ขายดีที่สุด

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

ตัวอย่าง 1

ข้อมูล: 4, 7, 7, 9, 13 จงหาค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม

วิธีทำ

1.ค่าเฉลี่ย: $\frac{4 + 7 + 7 + 9 + 13}{5} = \frac{40}{5} = 8$
2.เรียงแล้วมี 5 ตัว ตัวกลางคือตัวที่ 3 จึงได้มัธยฐาน $= 7$
3.ค่าที่ซ้ำมากที่สุดคือ 7 ซึ่งปรากฏ 2 ครั้ง

ตอบ ค่าเฉลี่ย $8$ · มัธยฐาน $7$ · ฐานนิยม $7$

ตัวอย่าง 2

ข้อมูล: 3, 5, 8, 10 จงหามัธยฐาน

วิธีทำ

1.มี 4 ตัว เป็นจำนวนคู่ จึงไม่มีตัวกลางตัวเดียว
2.เฉลี่ยสองตัวกลาง: $\frac{5 + 8}{2}$

ตอบ มัธยฐาน $= 6.5$

ข้อควรระวัง

ต้อง เรียงข้อมูลก่อน เสมอจึงจะหามัธยฐานได้ · หามัธยฐานจากลำดับที่โจทย์ให้มาโดยไม่เรียง เป็นข้อผิดพลาดที่ทำให้เสียคะแนนบ่อยที่สุดในบทนี้

7.3 การเลือกใช้ค่ากลาง

สถานการณ์	ค่ากลางที่เหมาะ	เหตุผล
ข้อมูลกระจายสมมาตร ไม่มีค่าสุดโต่ง	ค่าเฉลี่ย	ใช้ข้อมูลครบทุกตัว
มีค่าสุดโต่ง เช่นเงินเดือนผู้บริหารปนอยู่	มัธยฐาน	ค่าสุดโต่งดึงค่าเฉลี่ยไปแต่ดึงมัธยฐานแทบไม่ได้
ข้อมูลเป็นประเภท เช่นไซซ์เสื้อ สี	ฐานนิยม	หาค่าเฉลี่ยของสีไม่ได้

ควรใช้ค่ากลางตัวไหน

ตัวอย่าง

เงินเดือน (พันบาท) ของพนักงาน 5 คน: 15, 16, 17, 18, 200 ค่ากลางตัวใดเหมาะที่จะบอกว่า “พนักงานทั่วไปได้เท่าไร”

วิธีทำ

1.ค่าเฉลี่ย: $\frac{15 + 16 + 17 + 18 + 200}{5} = \frac{266}{5} = 53.2$
2.มัธยฐาน: เรียงแล้วตัวกลางคือ $17$
3.ค่าเฉลี่ย 53.2 สูงกว่าเงินเดือนของ 4 คนจาก 5 คน จึงไม่ได้อธิบายคนทั่วไป

ตอบ ควรใช้มัธยฐาน $= 17$ พันบาท

เคล็ดลับ

ข่าวและโฆษณามักเลือกค่ากลางที่เข้าข้างตัวเอง · เห็นตัวเลข “เฉลี่ย” เมื่อไร ให้ถามต่อว่า มีค่าสุดโต่งอยู่ในกองข้อมูลหรือเปล่า นี่คือทักษะที่บทนี้ให้จริง ๆ ไม่ใช่แค่การคำนวณ

7.4 การอ่านและตีความแผนภาพ

อ่านแผนภาพอย่างเป็นระบบ

1อ่านชื่อแผนภาพและหน่วยของทั้งสองแกนก่อนดูรูป
2ดูว่าแกนตั้งเริ่มที่ศูนย์หรือไม่ — ถ้าไม่ ความต่างจะดูเกินจริง
3หาค่าสูงสุด ต่ำสุด และแนวโน้มรวม
4ตอบคำถามจากตัวเลขที่อ่านได้จริง ไม่ใช่จากความรู้สึกว่าแท่งไหนดูสูงกว่า

ข้อควรระวัง

กราฟที่แกนตั้งไม่ได้เริ่มจากศูนย์ทำให้ความต่างเล็ก ๆ ดูใหญ่มาก · นี่ไม่ใช่ความผิดพลาด แต่เป็นวิธีนำเสนอที่ต้องรู้เท่าทัน · ตรวจจุดเริ่มของแกนทุกครั้งก่อนสรุป

●
คำถามที่ข้อสอบชอบถามจากแผนภาพ
- ช่วงใดมีความถี่สูงที่สุด
- มีข้อมูลกี่ตัวที่มากกว่าค่าหนึ่ง (ต้องรวมความถี่หลายช่วง)
- คิดเป็นร้อยละเท่าไรของทั้งหมด

ตัวอย่าง

จากแผนภาพต้น-ใบในหัวข้อ 7.1 มีนักเรียนกี่คนที่ได้คะแนนตั้งแต่ 70 ขึ้นไป และคิดเป็นร้อยละเท่าไร

วิธีทำ

1.แถวต้น 7 มีใบ 3 ตัว และแถวต้น 8 มีใบ 3 ตัว
2.รวม $3 + 3 = 6$ คน จากทั้งหมด 12 คน
3.ร้อยละ $= \frac{6}{12} \times 100$

ตอบ 6 คน คิดเป็นร้อยละ 50

🎯 Key takeaways

แผนภาพจุด ต้น-ใบ และฮิสโทแกรม แลกรายละเอียดกับความสามารถในการรับข้อมูลจำนวนมาก
ฮิสโทแกรมแท่งติดกันเพราะแกนนอนต่อเนื่อง · แผนภูมิแท่งมีช่องว่างเพราะแกนนอนเป็นประเภท
ค่าเฉลี่ยไวต่อค่าสุดโต่ง · มัธยฐานทนได้ · ฐานนิยมใช้กับข้อมูลที่ไม่ใช่ตัวเลขได้
ต้องเรียงข้อมูลก่อนเสมอจึงจะหามัธยฐานได้
ตรวจว่าแกนตั้งเริ่มที่ศูนย์หรือไม่ ก่อนสรุปอะไรจากกราฟ

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena