Chapter 6

พหุนาม

Polynomials

รู้จักเอกนามและพหุนาม แล้วบวก ลบ คูณ และหารด้วยเอกนาม — เป็นภาษาที่พีชคณิตทั้งหมดตั้งแต่ ม.2 เป็นต้นไปใช้พูด

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 1 บทที่ 6
Common Core (US): A-APR, A-SSE
Cambridge: Lower Secondary Stage 8 — Expressions and formulae

6.1 เอกนาม

นิยาม

เอกนาม (Monomial)

นิพจน์ที่เขียนในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ เช่น $5 x^{2}$ , $- 3 ab$ , $7$ · ห้ามมีตัวแปรอยู่ในตัวส่วนและห้ามอยู่ในราก

●
ส่วนประกอบของเอกนาม $- 4 x^{3} y^{2}$
- สัมประสิทธิ์ คือ $- 4$ (เครื่องหมายลบเป็นส่วนหนึ่งของสัมประสิทธิ์)
- ตัวแปร คือ $x$ และ $y$
- ดีกรี คือผลบวกของเลขชี้กำลังทุกตัวแปร $= 3 + 2 = 5$
●
สิ่งที่ ไม่ใช่ เอกนาม
- $\frac{3}{x}$ — ตัวแปรอยู่ในตัวส่วน
- $x$ — เลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนเต็ม
- $2 x + 5$ — มีสองพจน์ จึงเป็นพหุนาม ไม่ใช่เอกนาม

นิยาม

เอกนามที่คล้ายกัน (Like terms)

เอกนามที่มีตัวแปรชุดเดียวกันและเลขชี้กำลังของแต่ละตัวแปรเท่ากัน เช่น $3 x^{2} y$ กับ $- 7 x^{2} y$ · บวกลบกันได้เฉพาะเอกนามที่คล้ายกันเท่านั้น

ข้อควรระวัง

$3 x^{2}$ กับ $3 x^{3}$ ไม่คล้ายกัน แม้ตัวแปรจะเป็น $x$ เหมือนกัน เพราะเลขชี้กำลังต่างกัน · บวกกันไม่ได้ ต้องปล่อยไว้เป็นสองพจน์

6.2 การบวกและการลบพหุนาม

นิยาม

พหุนาม (Polynomial)

ผลบวกของเอกนามตั้งแต่หนึ่งพจน์ขึ้นไป · ดีกรีของพหุนาม คือดีกรีที่สูงที่สุดในบรรดาพจน์ทั้งหมด

บวกหรือลบพหุนาม

1ถ้าเป็นการลบ ให้กระจายเครื่องหมายลบเข้าไปในวงเล็บทุกพจน์ก่อน
2จัดพจน์ที่คล้ายกันมาอยู่ด้วยกัน
3บวกหรือลบเฉพาะสัมประสิทธิ์ ส่วนตัวแปรและเลขชี้กำลังคงเดิม
4เรียงผลลัพธ์ตามดีกรีจากมากไปน้อย

ตัวอย่าง

จงหาผลลบ $(5 x^{2} - 3 x + 7) - (2 x^{2} + 4 x - 1)$

วิธีทำ

1.กระจายเครื่องหมายลบ: $5 x^{2} - 3 x + 7 - 2 x^{2} - 4 x + 1$
2.รวมพจน์ $x^{2}$ : $5 x^{2} - 2 x^{2} = 3 x^{2}$
3.รวมพจน์ $x$ : $- 3 x - 4 x = - 7 x$
4.รวมค่าคงตัว: $7 + 1 = 8$

ตอบ $3 x^{2} - 7 x + 8$

ข้อควรระวัง

ความผิดพลาดที่พบมากที่สุดคือกระจายเครื่องหมายลบเข้าไปแค่พจน์แรก · $- (2 x^{2} + 4 x - 1)$ ต้องกลายเป็น $- 2 x^{2} - 4 x + 1$ ทุกพจน์เปลี่ยนเครื่องหมาย รวมทั้งพจน์ที่ติดลบอยู่แล้ว

6.3 การคูณพหุนาม

สมบัติการแจกแจง

a (b + c) = ab + a c (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

ทุกพจน์ในวงเล็บแรกต้องคูณกับทุกพจน์ในวงเล็บหลัง โดยไม่ตกหล่น

ตัวอย่าง 1

จงหาผลคูณ $(x + 3) (x - 5)$

วิธีทำ

1. $x \cdot x = x^{2}$
2. $x \cdot (- 5) = - 5 x$
3. $3 \cdot x = 3 x$
4. $3 \cdot (- 5) = - 15$
5.รวมพจน์คล้าย: $- 5 x + 3 x = - 2 x$

ตอบ $x^{2} - 2 x - 15$

ตัวอย่าง 2

จงหาผลคูณ $2 a (3 a^{2} - 4 a + 6)$

วิธีทำ

1. $2 a \cdot 3 a^{2} = 6 a^{3}$
2. $2 a \cdot (- 4 a) = - 8 a^{2}$
3. $2 a \cdot 6 = 12 a$

ตอบ $6 a^{3} - 8 a^{2} + 12 a$

สามรูปแบบที่ต้องจำให้ขึ้นใจ

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

สามอันนี้จะกลับมาอีกในบทที่ 11 ตอนแยกตัวประกอบ — คนละทิศทางแต่ของอันเดียวกัน

เคล็ดลับ

ตรวจผลคูณเร็ว ๆ ด้วยการ แทนตัวเลข เช่นแทน $x = 1$ ในทั้งโจทย์และคำตอบ ถ้าสองค่าไม่ตรงกัน แสดงว่าคูณผิดแน่นอน

6.4 การหารพหุนามด้วยเอกนาม

หารทีละพจน์

\frac{a + b + c}{d} = \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d}

ตัวส่วนที่เป็นเอกนามหารเข้าไปได้ทุกพจน์ของตัวเศษ

ตัวอย่าง

จงหาผลหาร $\frac{12 x ^{5} - 8 x ^{3} + 4 x ^{2}}{4 x ^{2}}$

วิธีทำ

1. $\frac{12 x ^{5}}{4 x ^{2}} = 3 x^{3}$
2. $\frac{- 8 x ^{3}}{4 x ^{2}} = - 2 x$
3. $\frac{4 x ^{2}}{4 x ^{2}} = 1$

ตอบ $3 x^{3} - 2 x + 1$

ข้อควรระวัง

พจน์ที่หารแล้วได้ 1 มักถูกลืมเขียน · $\frac{4 x ^{2}}{4 x ^{2}}$ เท่ากับ $1$ ไม่ใช่ $0$ · หายไปหนึ่งพจน์คือคำตอบผิดทั้งข้อ

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

การหารกระจายลงตัวเศษได้ แต่ กระจายลงตัวส่วนไม่ได้ · $\frac{a}{b + c} \neq = \frac{a}{b} + \frac{a}{c}$ · ลองแทน $a = 6, b = 1, c = 2$ จะได้ $2$ กับ $9$ ซึ่งต่างกันมาก

🎯 Key takeaways

เอกนามคล้ายกันต้องมีตัวแปรและเลขชี้กำลังตรงกันทุกตัว จึงบวกลบกันได้
ลบพหุนามต้องกระจายเครื่องหมายลบเข้า ทุกพจน์ ในวงเล็บ
คูณพหุนามคือแจกแจงให้ครบทุกคู่ แล้วรวมพจน์ที่คล้ายกัน
จำ $(a \pm b)^{2}$ และ $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ไว้ จะได้ใช้ต่อในบทแยกตัวประกอบ
หารด้วยเอกนามคือหารทีละพจน์ · อย่าลืมพจน์ที่ผลหารเป็น 1

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena