Chapter 2

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง

Introduction to Real Numbers

ขยายจากจำนวนตรรกยะไปสู่จำนวนอตรรกยะ แล้วเรียนรากที่สองและรากที่สาม รวมถึงการประมาณค่ารากที่ถอดไม่ลงตัว ซึ่งเป็นเครื่องมือที่บทพีทาโกรัสเพิ่งเรียกใช้ไป

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 1 บทที่ 2
Common Core (US): 8.NS, 8.EE
Cambridge: Lower Secondary Stage 8 — Integers, powers and roots

2.1 จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ

ตอน ม.1 เรารู้จักเศษส่วนและทศนิยม ซึ่งเขียนเป็นเศษส่วนได้ทั้งหมด · แต่ความยาวของเส้นทแยงมุมของจัตุรัสด้านยาว 1 หน่วย คือ $2$ ซึ่ง เขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้เลย จำนวนแบบนี้จึงต้องมีชื่อของตัวเอง

นิยาม

จำนวนตรรกยะ (Rational number)

จำนวนที่เขียนในรูป $\frac{a}{b}$ ได้ เมื่อ $a, b$ เป็นจำนวนเต็มและ $b \neq = 0$ · ทศนิยมของจำนวนตรรกยะจะ ซ้ำหรือจบ เสมอ

นิยาม

จำนวนอตรรกยะ (Irrational number)

จำนวนที่เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้ · ทศนิยม ไม่จบและไม่ซ้ำ เช่น $2 = 1.41421356 \dots$ และ $π = 3.14159265 \dots$

นิยาม

จำนวนจริง (Real number)

จำนวนตรรกยะทุกตัวรวมกับจำนวนอตรรกยะทุกตัว · แทนได้ด้วยจุดบนเส้นจำนวนแบบเต็มไม่มีช่องว่าง

●
วิธีดูว่าตัวไหนเป็นอตรรกยะ
- รากที่สองของจำนวนเต็มบวกที่ ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ เป็นอตรรกยะ เช่น $3, 5, 7$
- $9 = 3$ ไม่ใช่ อตรรกยะ เพราะถอดรากได้ลงตัว
- $π$ เป็นอตรรกยะ · $\frac{22}{7}$ เป็นตรรกยะ — เป็นแค่ค่าประมาณของ $π$ ไม่ใช่ตัวเดียวกัน
- $0.333 \dots$ ซ้ำเป็นแบบแผน จึงเป็นตรรกยะ (เท่ากับ $\frac{1}{3}$ )

ข้อควรระวัง

เครื่องคิดเลขแสดง $2$ เป็น $1.414213562$ แล้วหยุด ทำให้ดูเหมือนทศนิยมจบ · หน้าจอเต็มไม่ใช่ทศนิยมจบ เครื่องแค่ตัดทิ้ง ห้ามสรุปจากหน้าจอว่าเป็นจำนวนตรรกยะ

2.2 รากที่สอง

นิยาม

รากที่สอง (Square root)

$b$ เป็นรากที่สองของ $a$ เมื่อ $b^{2} = a$ · จำนวนบวกทุกตัวมีรากที่สองสองค่า คือค่าบวกและค่าลบ แต่สัญลักษณ์ $a$ หมายถึง ค่าบวก เท่านั้น

สองสิ่งที่ต่างกันแต่ถูกสับสนบ่อย

25 = 5 แต่ x^{2} = 25 \Rightarrow x = 5 หรือ x = - 5

เครื่องหมายกรณฑ์ให้ค่าเดียว · สมการกำลังสองให้สองคำตอบ

$n$	$n^{2}$	$n$	$n^{2}$
1	1	11	121
2	4	12	144
3	9	13	169
4	16	14	196
5	25	15	225
6	36	16	256
7	49	17	289
8	64	18	324
9	81	19	361
10	100	20	400

กำลังสองสมบูรณ์ที่ควรจำ

สมบัติที่ใช้ทำให้รากอยู่ในรูปอย่างง่าย

ab = a b \frac{a}{b} = \frac{a}{b}

ใช้ได้เมื่อ $a \geq 0$ และ $b > 0$

ตัวอย่าง 1

จงทำ $72$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

วิธีทำ

1.แยก 72 ให้มีกำลังสองสมบูรณ์ตัวใหญ่ที่สุด: $72 = 36 \times 2$
2. $72 = 362$
3. $= 62$

ตอบ $62$

ตัวอย่าง 2

จงหาค่า $50 + 18$

วิธีทำ

1. $50 = 25 \times 2 = 52$
2. $18 = 9 \times 2 = 32$
3.ตัวในรากเหมือนกันแล้ว จึงบวกสัมประสิทธิ์ได้: $52 + 32 = 82$

ตอบ $82$

ข้อควรระวัง

$a + b \neq = a + b$ · ลองแทน $a = 9, b = 16$ จะได้ $25 = 5$ แต่ $3 + 4 = 7$ · รากกระจายเข้าไปในการคูณและการหารได้ แต่กระจายเข้าในการบวกและการลบไม่ได้

2.3 รากที่สาม

นิยาม

รากที่สาม (Cube root)

$b$ เป็นรากที่สามของ $a$ เมื่อ $b^{3} = a$ เขียนแทนด้วย $3 a$ · ต่างจากรากที่สองตรงที่ รากที่สามของจำนวนลบมีค่าจริง เพราะจำนวนลบยกกำลังสามยังคงเป็นลบ

$n$	$n^{3}$
1	1
2	8
3	27
4	64
5	125
6	216
7	343
8	512
9	729
10	1000

ลูกบาศก์สมบูรณ์ที่ควรจำ

ตัวอย่าง 1

จงหาค่า $3 - 125$

วิธีทำ

1.ถามว่าจำนวนใดยกกำลังสามแล้วได้ $- 125$
2. $(- 5)^{3} = (- 5) (- 5) (- 5) = - 125$

ตอบ $- 5$

ตัวอย่าง 2

ลูกบาศก์หนึ่งมีปริมาตร 343 ลูกบาศก์เซนติเมตร จงหาความยาวด้าน

วิธีทำ

1.ปริมาตรของลูกบาศก์คือ $s^{3}$ จึงได้ $s^{3} = 343$
2. $s = 3343 = 7$

ตอบ ด้านยาว $7$ เซนติเมตร

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไม $- 4$ ไม่มีค่าในจำนวนจริง แต่ $3 - 8$ มี? เพราะจำนวนจริงยกกำลัง คู่ ได้ผลไม่ติดลบเสมอ จึงไม่มีตัวไหนยกกำลังสองแล้วได้ $- 4$ · แต่กำลัง คี่ เก็บเครื่องหมายไว้ จึงมี $- 2$ ที่ยกกำลังสามแล้วได้ $- 8$

2.4 การประมาณค่ารากที่สอง

ทั้งในข้อสอบและในงานจริง เรามักต้องรู้ว่า $40$ อยู่ราวไหน โดยไม่ต้องกดเครื่องคิดเลข วิธีคือ ขนาบด้วยกำลังสองสมบูรณ์

ประมาณค่ารากที่สอง

1หากำลังสองสมบูรณ์ที่ใกล้ที่สุดสองตัวที่ขนาบตัวเลขในราก
2รากจึงอยู่ระหว่างรากของสองตัวนั้น
3ดูว่าตัวเลขในรากใกล้ฝั่งไหนมากกว่า แล้วประมาณทศนิยมตำแหน่งแรก
4ตรวจโดยยกกำลังสองค่าที่เดา แล้วเทียบกับตัวเลขเดิม

ตัวอย่าง

จงประมาณค่า $40$ ให้ละเอียดถึงทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง

วิธีทำ

1. $36 < 40 < 49$ จึงได้ $6 < 40 < 7$
2.40 ใกล้ 36 มากกว่าใกล้ 49 คำตอบจึงควรค่อนไปทาง 6
3.ลอง $6.3$ : $6. 3^{2} = 39.69$ ยังน้อยกว่า 40 เล็กน้อย
4.ลอง $6.4$ : $6. 4^{2} = 40.96$ เกินไปแล้ว

ตอบ $40 \approx 6.3$

●
การเรียงจำนวนจริงที่ปนกันหลายรูปแบบ
- แปลงทุกตัวเป็นทศนิยมโดยประมาณก่อน แล้วค่อยเรียง
- $2 \approx 1.41$ · $\frac{3}{2} = 1.5$ · $π \approx 3.14$ · $10 \approx 3.16$

เคล็ดลับ

จำค่าประมาณสามตัวนี้ไว้ใช้ยาวถึง ม.ปลาย: $2 \approx 1.414$ · $3 \approx 1.732$ · $5 \approx 2.236$

🎯 Key takeaways

ตรรกยะคือเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ ทศนิยมซ้ำหรือจบ · อตรรกยะคือทศนิยมไม่จบและไม่ซ้ำ
$a$ หมายถึงรากที่สองที่เป็นบวกเท่านั้น แต่ $x^{2} = a$ มีสองคำตอบ
$ab = a b$ ใช้ได้ แต่ $a + b \neq = a + b$ เด็ดขาด
รากที่สามของจำนวนลบมีค่าจริง เพราะกำลังคี่เก็บเครื่องหมายไว้
ประมาณค่ารากด้วยการขนาบระหว่างกำลังสองสมบูรณ์สองตัวที่ใกล้ที่สุด

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena

$n$	$n^{2}$	$n$	$n^{2}$
1	1	11	121
2	4	12	144
3	9	13	169
4	16	14	196
5	25	15	225
6	36	16	256
7	49	17	289
8	64	18	324
9	81	19	361
10	100	20	400

$n$	$n^{2}$	$n$	$n^{2}$
1	1	11	121
2	4	12	144
3	9	13	169
4	16	14	196
5	25	15	225
6	36	16	256
7	49	17	289
8	64	18	324
9	81	19	361
10	100	20	400

$n$	$n^{2}$	$n$	$n^{2}$
1	1	11	121
2	4	12	144
3	9	13	169
4	16	14	196
5	25	15	225
6	36	16	256
7	49	17	289
8	64	18	324
9	81	19	361
10	100	20	400