Chapter 1

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

Pythagoras' Theorem

ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก — รู้สองด้านแล้วหาด้านที่สามได้เสมอ และใช้ตรวจย้อนกลับว่ารูปที่ให้มาเป็นมุมฉากจริงหรือไม่

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตเล่ม 1 บทที่ 1
Common Core (US): 8.G
Cambridge: Lower Secondary Stage 8 — Pythagoras' theorem

1.1 ส่วนประกอบของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่านั้น สิ่งแรกที่ต้องทำทุกครั้งจึงเป็นการชี้ให้ได้ว่ามุมฉากอยู่ตรงไหน แล้วด้านไหนคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

นิยาม

ด้านตรงข้ามมุมฉาก (Hypotenuse)

ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก · เป็น ด้านที่ยาวที่สุดเสมอ ในสามเหลี่ยมมุมฉาก นิยมแทนด้วย $c$

นิยาม

ด้านประกอบมุมฉาก (Legs)

สองด้านที่ประกอบกันเป็นมุมฉาก นิยมแทนด้วย $a$ และ $b$ · สลับชื่อกันได้ ไม่มีผลต่อคำตอบ

●
วิธีชี้ด้านตรงข้ามมุมฉากให้ถูกทุกครั้ง
- หามุมฉากก่อน (สัญลักษณ์สี่เหลี่ยมเล็กที่มุม)
- ลากสายตาจากมุมฉากไปยังด้านที่ ไม่แตะ มุมนั้นเลย — นั่นคือด้านตรงข้ามมุมฉาก
- ตรวจซ้ำ: มันต้องเป็นด้านที่ยาวที่สุด ถ้าไม่ใช่ แสดงว่าชี้ผิด
●
สิ่งที่ทฤษฎีบทนี้ทำไม่ได้
- ใช้กับสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉากไม่ได้ (ต้องใช้กฎของโคไซน์ ซึ่งเรียนใน ม.ปลาย)
- หาค่ามุมไม่ได้ — บอกได้แค่ความยาวด้าน

ข้อควรระวัง

ข้อผิดพลาดอันดับหนึ่งของบทนี้คือ เอาด้านที่ยาวที่สุดไปแทนใน $a$ หรือ $b$ โดยไม่ดูรูป ผลคือได้รากของจำนวนติดลบ · ถ้าคำนวณแล้วเจอรากติดลบ ให้กลับไปดูว่าชี้ด้านตรงข้ามมุมฉากถูกหรือยัง

1.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

a^{2} + b^{2} = c^{2}

$c$ = ด้านตรงข้ามมุมฉาก · $a, b$ = ด้านประกอบมุมฉาก

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมถึงเป็นจริง? ลองวางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสลงบนด้านทั้งสาม พื้นที่ของจัตุรัสบนด้านสั้นสองอันรวมกัน เท่ากับ พื้นที่ของจัตุรัสบนด้านยาวพอดี — ทฤษฎีบทนี้จึงเป็นเรื่องของ พื้นที่ ไม่ใช่แค่สูตรความยาว

หาด้านที่หายไป

1วาดรูปแล้วทำเครื่องหมายมุมฉาก
2ตั้งชื่อ: ด้านตรงข้ามมุมฉาก $= c$ · อีกสองด้าน $= a, b$
3หา $c$ ใช้ $c = a^{2} + b^{2}$ · หาด้านประกอบมุมฉาก ใช้ $a = c^{2} - b^{2}$
4แทนค่าแล้วคิดกำลังสองให้เสร็จก่อน จึงค่อยบวกหรือลบ
5ตรวจความสมเหตุสมผล: ด้านตรงข้ามมุมฉากต้องออกมายาวที่สุด

ตัวอย่าง 1

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว 6 และ 8 หน่วย จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก

วิธีทำ

1. $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2}$
2. $= 36 + 64 = 100$
3. $c = 100 = 10$

ตอบ ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ หน่วย

ตัวอย่าง 2

บันไดยาว 13 เมตร พิงกำแพง ปลายล่างห่างกำแพง 5 เมตร ปลายบนสูงจากพื้นเท่าไร

วิธีทำ

1.บันไดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก จึงได้ $c = 13$ และด้านประกอบมุมฉากตัวหนึ่งคือ $5$
2. $a^{2} = c^{2} - b^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$
3. $a = 144 = 12$

ตอบ ปลายบนสูงจากพื้น $12$ เมตร

ชุดพื้นฐาน	คูณ 2	คูณ 3	คูณ 4
3, 4, 5	6, 8, 10	9, 12, 15	12, 16, 20
5, 12, 13	10, 24, 26	15, 36, 39	20, 48, 52
8, 15, 17	16, 30, 34	24, 45, 51	32, 60, 68
7, 24, 25	14, 48, 50	21, 72, 75	28, 96, 100

สามพจน์พีทาโกรัสที่ควรจำ (ช่วยตอบและตรวจคำตอบได้ทันที)

เคล็ดลับ

ถ้าโจทย์ให้เลขที่เป็นพหุคูณของชุดข้างบน ตอบได้ทันทีโดยไม่ต้องยกกำลัง เช่นเห็น $9$ กับ $12$ ให้นึกถึง $3, 4, 5$ คูณสาม แล้วตอบ $15$

1.3 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทบอกว่า “ถ้าเป็นมุมฉาก แล้วด้านสัมพันธ์กันแบบนี้” · บทกลับ เดินย้อนทาง: “ถ้าด้านสัมพันธ์กันแบบนี้ แล้วต้องเป็นมุมฉาก” — เป็นเครื่องมือตรวจว่ารูปหนึ่งเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ โดยวัดแค่ความยาว ไม่ต้องใช้โพรแทรกเตอร์

บทกลับ

a^{2} + b^{2} = c^{2} ⟹ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

โดย $c$ คือด้านที่ยาวที่สุด

เงื่อนไข	ชนิดของสามเหลี่ยม
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$	มุมฉาก
$a^{2} + b^{2} > c^{2}$	มุมแหลม (ทุกมุมเล็กกว่า $9 0^{\circ}$ )
$a^{2} + b^{2} < c^{2}$	มุมป้าน (มีมุมหนึ่งใหญ่กว่า $9 0^{\circ}$ )

ตรวจชนิดของสามเหลี่ยมจากความยาวด้าน (ให้

c

ยาวที่สุด)

ตัวอย่าง 1

สามเหลี่ยมมีด้านยาว 9, 40, 41 เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

วิธีทำ

1.ด้านยาวที่สุดคือ 41 จึงให้ $c = 41$
2. $a^{2} + b^{2} = 9^{2} + 4 0^{2} = 81 + 1600 = 1681$
3. $c^{2} = 4 1^{2} = 1681$
4.สองค่าเท่ากันพอดี

ตอบ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมุมฉากอยู่ตรงข้ามด้านที่ยาว 41

ตัวอย่าง 2

สามเหลี่ยมมีด้านยาว 5, 6, 10 เป็นชนิดใด

วิธีทำ

1. $c = 10$ · $a^{2} + b^{2} = 25 + 36 = 61$ · $c^{2} = 100$
2. $61 < 100$

ตอบ เป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน

ข้อควรระวัง

ก่อนใช้บทกลับ ต้องตรวจก่อนว่า สร้างสามเหลี่ยมได้จริง คือผลบวกของสองด้านสั้นต้องมากกว่าด้านที่ยาวที่สุด · ชุด $2, 3, 9$ ไม่เป็นสามเหลี่ยมเลย จึงไม่ต้องถามต่อว่าเป็นมุมฉากหรือไม่

1.4 การนำไปใช้

●
รูปที่พบบ่อยในโจทย์
- เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง $w$ ยาว $l$ ยาว $w^{2} + l^{2}$
- เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $s$ เท่ากับ $s 2$
- ส่วนสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่าด้านยาว $s$ เท่ากับ $\frac{3}{2} s$
●
ระยะทางบนระนาบพิกัด
- ระหว่างจุด $(x_{1}, y_{1})$ กับ $(x_{2}, y_{2})$ ให้ลากสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยใช้ผลต่างของ $x$ และผลต่างของ $y$ เป็นด้านประกอบมุมฉาก

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

เป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสในเสื้อผ้าชุดใหม่ ไม่ใช่สูตรใหม่ที่ต้องจำเพิ่ม

ตัวอย่าง 1

จงหาระยะห่างระหว่างจุด $A (1, 2)$ กับ $B (7, 10)$

วิธีทำ

1.ผลต่างทางแกน $x$ คือ $7 - 1 = 6$ · ผลต่างทางแกน $y$ คือ $10 - 2 = 8$
2. $d = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$

ตอบ $d = 10$ หน่วย

ตัวอย่าง 2

กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 3 ยาว 4 สูง 12 เซนติเมตร จงหาความยาวเส้นทแยงมุมภายในกล่อง

วิธีทำ

1.หาเส้นทแยงมุมของฐานก่อน: $3^{2} + 4^{2} = 5$
2.เส้นทแยงมุมภายในเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่มีด้าน $5$ กับความสูง $12$
3. $5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169$

ตอบ ยาว $13$ เซนติเมตร

เคล็ดลับ

โจทย์สามมิติแทบทุกข้อในบทนี้แก้ด้วยการ ใช้พีทาโกรัสสองครั้ง — ครั้งแรกบนฐาน ครั้งที่สองในแนวตั้ง ไม่มีสูตรพิเศษให้ต้องจำเพิ่ม

🎯 Key takeaways

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ใช้ได้เฉพาะสามเหลี่ยมมุมฉาก โดย $c$ คือด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งยาวที่สุดเสมอ
บทกลับใช้ตรวจว่ารูปเป็นมุมฉากหรือไม่ · $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ คือมุมแหลม · น้อยกว่าคือมุมป้าน
จำชุด 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ไว้ ช่วยตอบและตรวจคำตอบได้เร็ว
สูตรระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือพีทาโกรัสบนระนาบพิกัด ไม่ใช่สูตรใหม่
โจทย์ทรงสามมิติมักแก้ด้วยการใช้พีทาโกรัสสองรอบ: ฐานก่อน แล้วค่อยแนวตั้ง

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena