Chapter 9

เส้นขนาน

Parallel Lines

เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นขนานสองเส้น จะเกิดคู่มุมที่เท่ากันและคู่มุมที่รวมกันได้ $18 0^{\circ}$ — ชุดข้อเท็จจริงที่ใช้ต่อยอดในทุกข้อพิสูจน์เรขาคณิตหลังจากนี้

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: การวัดและเรขาคณิตเล่ม 2 บทที่ 3
Common Core (US): 8.G
Cambridge: Lower Secondary Stage 8 — Geometrical reasoning

9.1 คู่มุมพื้นฐานที่ต้องรู้ก่อน

●
คู่มุมที่จริงเสมอ ไม่ต้องมีเส้นขนาน
- มุมตรงข้าม ที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นตัดกัน มีขนาดเท่ากัน
- มุมประชิดบนเส้นตรง รวมกันได้ $18 0^{\circ}$
- มุมรอบจุด รวมกันได้ $36 0^{\circ}$
●
คำที่ต้องแยกให้ออก
- มุมที่รวมกันได้ $9 0^{\circ}$ เรียกว่ามุมประกอบมุมฉาก
- มุมที่รวมกันได้ $18 0^{\circ}$ เรียกว่ามุมประกอบสองมุมฉาก

นิยาม

เส้นตัดขวาง (Transversal)

เส้นตรงที่ตัดเส้นตรงอื่นตั้งแต่สองเส้นขึ้นไป · เมื่อเส้นตัดขวางตัดเส้นสองเส้น จะเกิดมุมทั้งหมด 8 มุม ซึ่งจับคู่ได้ตามตำแหน่ง

9.2 คู่มุมเมื่อเส้นตัดขวางตัดเส้นขนาน

ชื่อคู่มุม	ตำแหน่ง	ความสัมพันธ์
มุมแย้ง	คนละข้างของเส้นตัดขวาง อยู่ระหว่างเส้นขนาน	เท่ากัน
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกัน	ตำแหน่งเดียวกันที่จุดตัดทั้งสอง	เท่ากัน
มุมภายในบนข้างเดียวกันของเส้นตัดขวาง	ข้างเดียวกัน อยู่ระหว่างเส้นขนาน	รวมกันได้ $18 0^{\circ}$

สามข้อเท็จจริงหลัก (จริงก็ต่อเมื่อสองเส้นนั้นขนานกัน)

ข้อควรระวัง

ทั้งสามข้อ ต้องมีเส้นขนานก่อน · ถ้าโจทย์ไม่ได้บอกว่าขนาน ห้ามใช้ ต่อให้รูปดูขนานก็ตาม · รูปในข้อสอบวาดไม่ตรงมาตราส่วนเป็นเรื่องปกติ

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

จำง่ายด้วยรูปตัวอักษร: มุมแย้งอยู่ในรูปตัว Z · มุมที่ตำแหน่งเดียวกันอยู่ในรูปตัว F · มุมภายในข้างเดียวกันอยู่ในรูปตัว C และคู่ในตัว C เท่านั้นที่ รวมกัน ได้ $18 0^{\circ}$ ไม่ใช่เท่ากัน

ตัวอย่าง

เส้นตรง $A B$ ขนานกับ $C D$ มีเส้นตัดขวางทำให้เกิดมุมหนึ่งขนาด $6 5^{\circ}$ จงหามุมแย้งและมุมภายในบนข้างเดียวกัน

วิธีทำ

1.มุมแย้งเท่ากับมุมที่ให้มา จึงได้ $6 5^{\circ}$
2.มุมภายในบนข้างเดียวกันรวมกันได้ $18 0^{\circ}$
3. $18 0^{\circ} - 6 5^{\circ} = 11 5^{\circ}$

ตอบ มุมแย้ง $= 6 5^{\circ}$ · มุมภายในข้างเดียวกัน $= 11 5^{\circ}$

9.3 บทกลับ — ใช้มุมพิสูจน์ว่าขนาน

ทุกข้อในหัวข้อ 9.2 ใช้ย้อนทางได้ · ถ้าพบว่ามุมแย้งเท่ากัน ก็สรุปได้ว่าเส้นทั้งสอง ขนานกัน โดยไม่ต้องมีใครบอกมาก่อน

บทกลับของสมบัติเส้นขนาน

มุมแย้งเท่ากัน ⟺ เส้นทั้งสองขนานกัน

ใช้ได้ทั้งสองทิศทาง จึงเป็นเครื่องมือพิสูจน์ ไม่ใช่แค่เครื่องมือคำนวณ

ตัวอย่าง

เส้นตัดขวางตัดเส้นสองเส้น เกิดมุมภายในบนข้างเดียวกันขนาด $x$ และ $3 x - 4 0^{\circ}$ จงหา $x$ ที่ทำให้เส้นทั้งสองขนานกัน

วิธีทำ

1.จะขนานกันได้ มุมคู่นี้ต้องรวมกันเป็น $18 0^{\circ}$
2. $x + 3 x - 40 = 180$
3. $4 x = 220$

ตอบ $x = 5 5^{\circ}$

9.4 เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม

ผลบวกมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

พิสูจน์ได้ด้วยการลากเส้นขนานผ่านจุดยอดหนึ่งจุด แล้วใช้มุมแย้งสองคู่

นิยาม

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม

มุมที่เกิดจากการต่อด้านหนึ่งออกไป · มุมภายนอกเท่ากับผลบวกของมุมภายในที่ไม่ประชิดกับมันสองมุม

ตัวอย่าง

รูปสามเหลี่ยมมีมุมภายในสองมุมขนาด $4 7^{\circ}$ และ $6 8^{\circ}$ จงหามุมภายนอกที่จุดยอดที่เหลือ

วิธีทำ

1.มุมภายนอกเท่ากับผลบวกของมุมภายในที่ไม่ประชิดสองมุม
2. $4 7^{\circ} + 6 8^{\circ} = 11 5^{\circ}$
3.ตรวจอีกทาง: มุมภายในที่เหลือ $= 180 - 47 - 68 = 6 5^{\circ}$ และ $180 - 65 = 11 5^{\circ}$ ตรงกัน

ตอบ มุมภายนอก $= 11 5^{\circ}$

ผลบวกมุมภายในของรูป $n$ เหลี่ยม

(n - 2) \times 18 0^{\circ}

มาจากการแบ่งรูป $n$ เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยม $n - 2$ รูปด้วยเส้นทแยงมุมจากจุดยอดเดียว

เคล็ดลับ

โจทย์มุมส่วนใหญ่แก้ได้ด้วยการ ลากเส้นขนานเพิ่มหนึ่งเส้น ผ่านจุดที่มุมซับซ้อน แล้วแตกมุมนั้นเป็นมุมแย้งสองมุม · ถ้าตันให้ลองวิธีนี้ก่อนเสมอ

🎯 Key takeaways

มุมตรงข้ามเท่ากัน และมุมประชิดบนเส้นตรงรวมกันได้ $18 0^{\circ}$ — จริงเสมอ ไม่ต้องมีเส้นขนาน
เมื่อมีเส้นขนาน: มุมแย้งเท่ากัน (รูป Z) · มุมตำแหน่งเดียวกันเท่ากัน (รูป F) · มุมภายในข้างเดียวกันรวมกันได้ $18 0^{\circ}$ (รูป C)
ทั้งสามข้อใช้ย้อนทางได้ จึงใช้พิสูจน์ว่าเส้นสองเส้นขนานกันได้ด้วย
มุมภายในของสามเหลี่ยมรวมกันได้ $18 0^{\circ}$ · รูป $n$ เหลี่ยมได้ $(n - 2) \times 18 0^{\circ}$
มุมภายนอกของสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของมุมภายในที่ไม่ประชิดสองมุม

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena