Chapter 10
การให้เหตุผลทางเรขาคณิต
Geometric Reasoning
เปลี่ยนจาก “ตอบว่าเท่าไร” เป็น “อธิบายว่าทำไม” — เรียนรู้ว่าอะไรอ้างได้ อะไรอ้างไม่ได้ และเขียนข้อพิสูจน์ให้คนอื่นตามได้อย่างไร
- หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.
- การวัดและเรขาคณิตเล่ม 2 บทที่ 4
- Common Core (US)
- G-CO
- Cambridge
- Lower Secondary Stage 8 — Geometrical reasoning
10.1 อะไรที่อ้างเป็นเหตุผลได้
ข้อพิสูจน์คือโซ่ของประโยค ที่แต่ละข้อต้องตามมาจากข้อก่อนหน้าด้วยเหตุผลที่ เขียนชื่อได้ · สิ่งที่ทำให้ข้อพิสูจน์ผิดไม่ใช่การคำนวณ แต่คือการอ้างสิ่งที่ยังไม่ได้พิสูจน์
- อ้างได้
- สิ่งที่โจทย์กำหนดให้
- นิยาม เช่น นิยามของจุดกึ่งกลาง หรือของเส้นแบ่งครึ่งมุม
- ทฤษฎีบทที่เรียนมาแล้ว เช่นสมบัติเส้นขนาน หรือเงื่อนไขความเท่ากันทุกประการ
- สิ่งที่พิสูจน์ไว้แล้วในบรรทัดก่อนหน้าของข้อพิสูจน์เดียวกัน
- อ้าง ไม่ได้
- “ดูจากรูปแล้วเท่ากัน” — รูปวาดไม่ใช่หลักฐาน
- “วัดแล้วได้เท่ากัน” — การวัดมีความคลาดเคลื่อนเสมอ
- “น่าจะขนานกัน” — ต้องมีข้อความหรือทฤษฎีบทรองรับ
- สิ่งที่กำลังจะพิสูจน์ — เอาผลลัพธ์มาเป็นเหตุผลของตัวเองไม่ได้
ข้อควรระวัง
กับดักที่พบบ่อยที่สุดคือ ใช้สิ่งที่โจทย์ให้พิสูจน์ มาเป็นขั้นตอนหนึ่งของการพิสูจน์เสียเอง · ถ้าเขียนแล้วรู้สึกว่า “ก็มันเห็น ๆ อยู่” ให้กลับไปดูว่าอ้างจากอะไร
10.2 การเขียนข้อพิสูจน์
โครงมาตรฐานของข้อพิสูจน์
- 1เขียน “กำหนดให้” — ข้อมูลทั้งหมดที่โจทย์ให้
- 2เขียน “ต้องการพิสูจน์” — ข้อความเป้าหมาย
- 3วาดรูปและทำเครื่องหมายทุกอย่างที่รู้ลงบนรูป
- 4เขียนขั้นตอนเป็นคู่: ข้อความ กับเหตุผลของข้อความนั้น
- 5ปิดท้ายด้วยข้อความเป้าหมาย พร้อมเหตุผลของขั้นสุดท้าย
ตัวอย่าง
กำหนดให้ มี จงพิสูจน์ว่า
วิธีทำ
- 1.ลาก แบ่งครึ่งมุม โดยให้ อยู่บน — สร้างได้เสมอ
- 2. — กำหนดให้
- 3. — เพราะ แบ่งครึ่งมุม ตามนิยาม
- 4. — เป็นด้านร่วม
- 5.จึงได้ ตามเงื่อนไข ด.ม.ด.
- 6.มุมที่สมนัยกันของรูปที่เท่ากันทุกประการย่อมเท่ากัน
ตอบ ตามต้องการ
เคล็ดลับ
ทุกบรรทัดต้องตอบคำถาม “รู้ได้อย่างไร” · ถ้าบรรทัดไหนเขียนเหตุผลไม่ได้ แสดงว่ายังข้ามขั้นอยู่ ให้แทรกบรรทัดเพิ่ม ไม่ใช่เขียนต่อไป
10.3 การสร้างและเหตุผลเบื้องหลัง
การสร้างด้วยวงเวียนและสันตรงจาก ม.1 กลับมาที่บทนี้ในฐานะ สิ่งที่ต้องอธิบายได้ว่าทำไมถึงถูก ไม่ใช่แค่ทำตามขั้นตอน
| การสร้าง | เหตุผลที่ทำให้ถูกต้อง |
|---|---|
| แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง | จุดตัดของส่วนโค้งสองข้างอยู่ห่างปลายทั้งสองเท่ากัน จึงเกิดสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ |
| แบ่งครึ่งมุม | ระยะที่กางวงเวียนเท่ากันสร้างด้านเท่ากันสามคู่ จึงใช้ ด.ด.ด. ได้ |
| สร้างเส้นตั้งฉากจากจุดนอกเส้น | จุดที่ได้ห่างจากสองจุดบนเส้นเท่ากัน เส้นเชื่อมจึงตั้งฉาก |
| สร้างเส้นขนานผ่านจุดที่กำหนด | สร้างมุมที่ตำแหน่งเดียวกันให้เท่ากัน แล้วใช้บทกลับของสมบัติเส้นขนาน |
ทำไมถึงเป็นแบบนั้น
ทำไมการสร้างจึงห้ามวัดด้วยไม้บรรทัดที่มีสเกล? เพราะจุดประสงค์ของการสร้างคือ แสดงว่ารูปนั้นมีอยู่จริงตามเหตุผลทางเรขาคณิต ไม่ใช่การผลิตรูปที่ดูใกล้เคียง · การวัดให้ค่าประมาณ แต่การสร้างให้ค่าที่ถูกต้องแน่นอน
10.4 การหาตัวอย่างค้าน
นิยาม
ตัวอย่างค้าน (Counterexample)
ตัวอย่างหนึ่งตัวอย่างที่ทำให้ข้อความทั่วไปเป็นเท็จ · ตัวอย่างค้านเพียงตัวเดียวก็ล้มข้อความได้ทั้งข้อ ในขณะที่ตัวอย่างที่จริงเป็นร้อยตัวก็ยังพิสูจน์ไม่ได้
ตัวอย่าง
ข้อความ “รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันทั้งสี่ด้าน เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส” เป็นจริงหรือไม่
วิธีทำ
- 1.ลองนึกถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุม กับ
- 2.รูปนี้มีด้านยาวเท่ากันทั้งสี่ด้าน แต่มุมไม่เป็นมุมฉาก
ตอบ เป็นเท็จ · รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นตัวอย่างค้าน
เคล็ดลับ
เจอข้อความที่ขึ้นต้นว่า “ทุก…” หรือ “เสมอ” ให้ลองหาตัวอย่างค้านก่อนพยายามพิสูจน์ · ถ้าหาไม่เจอหลังลองหลายแบบ ค่อยเริ่มเขียนข้อพิสูจน์ วิธีนี้ประหยัดเวลาในข้อสอบมาก
🎯 Key takeaways
- อ้างได้เฉพาะสิ่งที่โจทย์ให้ นิยาม ทฤษฎีบทที่เรียนแล้ว และบรรทัดก่อนหน้า
- รูปวาดและการวัดไม่ใช่หลักฐาน — ห้ามใช้เป็นเหตุผล
- ทุกบรรทัดของข้อพิสูจน์ต้องเขียนเหตุผลกำกับได้ ถ้าเขียนไม่ได้แปลว่าข้ามขั้น
- การสร้างด้วยวงเวียนและสันตรงอธิบายได้ด้วยความเท่ากันทุกประการเสมอ
- ตัวอย่างค้านเพียงตัวเดียวล้มข้อความทั่วไปได้ แต่ตัวอย่างที่จริงกี่ตัวก็ไม่ใช่ข้อพิสูจน์
Read it — now practise it
Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.