Chapter 11

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

Factorising Quadratic Polynomials

เดินย้อนทางจากการคูณในบทที่ 6 — เปลี่ยน $x^{2} + b x + c$ กลับเป็นผลคูณของวงเล็บสองอัน ซึ่งเป็นกุญแจของการแก้สมการกำลังสองใน ม.3

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 2 บทที่ 5
Common Core (US): A-SSE, A-APR
Cambridge: Lower Secondary Stage 8 — Expressions and formulae

11.1 การแยกตัวประกอบด้วยตัวประกอบร่วม

ขั้นแรกของทุกโจทย์แยกตัวประกอบ เสมอ คือมองหาตัวประกอบร่วมของทุกพจน์แล้วดึงออกมาก่อน · ข้ามขั้นนี้แล้วโจทย์จะยากขึ้นโดยไม่จำเป็น

สมบัติการแจกแจงที่ใช้ย้อนทาง

ab + a c = a (b + c)

การคูณอ่านจากขวาไปซ้าย · การแยกตัวประกอบอ่านจากซ้ายไปขวา — เป็นสมการเดียวกัน

ตัวอย่าง

จงแยกตัวประกอบ $6 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

วิธีทำ

1.สัมประสิทธิ์ 6, 9, 12 มีตัวหารร่วมมากคือ 3
2.ตัวแปร $x^{3}, x^{2}, x$ มี $x$ ร่วมกัน (เอาเลขชี้กำลังต่ำสุด)
3.ตัวประกอบร่วมจึงเป็น $3 x$
4. $6 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x = 3 x (2 x^{2} - 3 x + 4)$

ตอบ $3 x (2 x^{2} - 3 x + 4)$

เคล็ดลับ

ตรวจคำตอบด้วยการ คูณกลับ ทุกครั้ง · ถ้าคูณกลับแล้วไม่ได้โจทย์เดิมเป๊ะ แสดงว่าแยกผิด นี่เป็นวิธีตรวจที่แน่นอน 100% และใช้เวลาไม่ถึงสิบวินาที

11.2 แยกตัวประกอบ $x^2+bx+c$

วิธีหาคู่ตัวเลข

1หาจำนวนสองจำนวนที่ คูณกันได้ $c$ และ บวกกันได้ $b$
2ถ้า $c$ เป็นบวก ทั้งคู่มีเครื่องหมายเดียวกัน โดยดูจาก $b$ ว่าเป็นบวกหรือลบ
3ถ้า $c$ เป็นลบ ทั้งคู่มีเครื่องหมายต่างกัน โดยตัวที่ค่าสัมบูรณ์มากกว่าจะมีเครื่องหมายตาม $b$
4เขียนเป็น $(x + p) (x + q)$ เมื่อ $p, q$ คือคู่ที่หาได้
5คูณกลับเพื่อตรวจ

ตัวอย่าง 1

จงแยกตัวประกอบ $x^{2} + 7 x + 12$

วิธีทำ

1.ต้องการสองจำนวนที่คูณได้ 12 และบวกได้ 7
2.คู่ที่คูณได้ 12: $1 \times 12$ , $2 \times 6$ , $3 \times 4$
3. $3 + 4 = 7$ ตรงตามต้องการ

ตอบ $(x + 3) (x + 4)$

ตัวอย่าง 2

จงแยกตัวประกอบ $x^{2} - 2 x - 15$

วิธีทำ

1. $c = - 15$ เป็นลบ จึงต้องเป็นคู่ที่เครื่องหมายต่างกัน
2.คู่ที่คูณได้ $- 15$ : $(1, - 15), (- 1, 15), (3, - 5), (- 3, 5)$
3. $3 + (- 5) = - 2$ ตรงกับ $b$

ตอบ $(x + 3) (x - 5)$

ข้อควรระวัง

หลายคนหาคู่ที่ บวกได้ $c$ แทนที่จะคูณได้ · ลำดับที่ถูกคือ คูณให้ได้ $c$ ก่อน แล้วค่อยเลือกคู่ที่บวกได้ $b$ เพราะคู่ที่คูณได้ $c$ มีจำนวนจำกัด แต่คู่ที่บวกได้ $b$ มีไม่จำกัด

11.3 รูปแบบพิเศษ

ผลต่างกำลังสอง

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

ใช้ได้เฉพาะ ผลต่าง เท่านั้น · $a^{2} + b^{2}$ แยกตัวประกอบในระบบจำนวนจริงไม่ได้

กำลังสองสมบูรณ์

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2} a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

สังเกตจากพจน์หัวและพจน์ท้ายที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ และพจน์กลางที่เป็นสองเท่าของผลคูณราก

ตัวอย่าง 1

จงแยกตัวประกอบ $9 x^{2} - 25$

วิธีทำ

1. $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ และ $25 = 5^{2}$
2.เข้ารูปผลต่างกำลังสองโดย $a = 3 x$ และ $b = 5$

ตอบ $(3 x + 5) (3 x - 5)$

ตัวอย่าง 2

จงแยกตัวประกอบ $x^{2} + 10 x + 25$

วิธีทำ

1.พจน์หัวเป็น $x^{2}$ พจน์ท้ายเป็น $5^{2}$
2.ตรวจพจน์กลาง: $2 \times x \times 5 = 10 x$ ตรงพอดี

ตอบ $(x + 5)^{2}$

เคล็ดลับ

เห็นสองพจน์ที่คั่นด้วยเครื่องหมายลบ และทั้งคู่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ให้นึกถึงผลต่างกำลังสองทันที · $x^{4} - 16$ ก็ใช้ได้ และแยกซ้ำได้อีกเป็น $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$

11.4 แยกตัวประกอบ $ax^2+bx+c$ เมื่อ $a \neq 1$

วิธีแยกพจน์กลาง

1คำนวณ $a \times c$
2หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $a c$ และบวกกันได้ $b$
3เขียนพจน์กลาง $b x$ แยกเป็นสองพจน์ตามคู่ที่ได้
4จับคู่สองพจน์แรกและสองพจน์หลัง แล้วดึงตัวประกอบร่วมของแต่ละคู่
5จะเหลือวงเล็บเหมือนกันสองอัน ให้ดึงวงเล็บนั้นออกเป็นตัวประกอบร่วม

ตัวอย่าง 1

จงแยกตัวประกอบ $2 x^{2} + 7 x + 3$

วิธีทำ

1. $a \times c = 2 \times 3 = 6$
2.หาคู่ที่คูณได้ 6 และบวกได้ 7 คือ 1 กับ 6
3.แยกพจน์กลาง: $2 x^{2} + x + 6 x + 3$
4.จับคู่: $(2 x^{2} + x) + (6 x + 3) = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1)$
5.ดึง $(2 x + 1)$ ออก

ตอบ $(2 x + 1) (x + 3)$

ตัวอย่าง 2

จงแยกตัวประกอบ $6 x^{2} - x - 2$

วิธีทำ

1. $a \times c = 6 \times (- 2) = - 12$
2.หาคู่ที่คูณได้ $- 12$ และบวกได้ $- 1$ คือ 3 กับ $- 4$
3. $6 x^{2} + 3 x - 4 x - 2$
4. $3 x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)$

ตอบ $(2 x + 1) (3 x - 2)$

ข้อควรระวัง

ถ้าจับคู่แล้ววงเล็บที่ได้ ไม่เหมือนกัน แสดงว่าเซ็นเครื่องหมายผิดตอนดึงตัวประกอบร่วมของคู่หลัง · ในตัวอย่างที่สอง ต้องดึง $- 2$ ออก ไม่ใช่ $2$ จึงจะได้ $(2 x + 1)$ เหมือนคู่แรก

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมวิธีนี้ถึงได้ผล? เพราะเมื่อคูณ $(p x + q) (r x + s)$ ออกมา พจน์กลางคือ $p s + q r$ และผลคูณของสองส่วนนั้นเท่ากับ $(p r) (q s) = a c$ พอดี · เรากำลังเดินย้อนความสัมพันธ์นั้นกลับ ไม่ได้ใช้กลเม็ดที่ไม่มีเหตุผล

🎯 Key takeaways

ขั้นแรกเสมอคือดึงตัวประกอบร่วมของทุกพจน์ออกก่อน
$x^{2} + b x + c$ แยกได้ด้วยการหาคู่ที่ คูณได้ $c$ และบวกได้ $b$ — คูณก่อนเสมอ
$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ แต่ $a^{2} + b^{2}$ แยกในจำนวนจริงไม่ได้
$a x^{2} + b x + c$ ใช้วิธีแยกพจน์กลางด้วยคู่ที่คูณได้ $a c$ และบวกได้ $b$
ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับทุกครั้ง — เป็นการตรวจที่แน่นอนและใช้เวลาไม่กี่วินาที

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena