Chapter 1

จำนวนเต็ม

Integers

ขยายโลกของจำนวนจาก 0, 1, 2, 3, … ออกไปทางซ้ายของเส้นจำนวน แล้วเรียนว่าบวก ลบ คูณ หาร กับจำนวนติดลบต้องคิดอย่างไร — เป็นบทที่ทุกบทหลังจากนี้ยืนอยู่บนมัน

หลักสูตรแกนกลาง / สสวท.: จำนวนและพีชคณิตเล่ม 1 บทที่ 1
Common Core (US): 7.NS
Cambridge: Lower Secondary Stage 7 — Integers, powers and roots

1.1 จำนวนเต็มคืออะไร

ก่อน ม.1 เรารู้จักแต่จำนวนนับ 1, 2, 3, … กับศูนย์ ซึ่งพอสำหรับ “นับของ” แต่ไม่พอสำหรับ “เป็นหนี้ 50 บาท” หรือ “อุณหภูมิต่ำกว่าศูนย์ 3 องศา” จำนวนเต็มคือการเติมอีกครึ่งหนึ่งที่หายไปให้ครบ

นิยาม

จำนวนเต็ม (Integer)

จำนวนที่ไม่มีเศษและไม่มีทศนิยม ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก ศูนย์ และจำนวนเต็มลบ เขียนแทนเซตนี้ด้วย $Z = {\dots, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, \dots}$

●
จำนวนเต็มแบ่งได้ 3 พวก
- จำนวนเต็มบวก — $1, 2, 3, \dots$ อยู่ทางขวาของศูนย์ (บางทีเรียกว่าจำนวนนับ)
- ศูนย์ — $0$ ตัวเดียว ไม่เป็นทั้งบวกและลบ เป็นจุดอ้างอิงตรงกลาง
- จำนวนเต็มลบ — $- 1, - 2, - 3, \dots$ อยู่ทางซ้ายของศูนย์
●
สิ่งที่ ไม่ใช่ จำนวนเต็ม
- $\frac{1}{2}$ , $0.75$ , $- 2.5$ — มีเศษหรือทศนิยม
- $2$ — ไม่ลงตัวเป็นจำนวนเต็ม
●
จำนวนเต็มใช้ในชีวิตจริงตรงไหน
- อุณหภูมิ: $- 5^{\circ} C$ คือต่ำกว่าจุดเยือกแข็ง 5 องศา
- บัญชีธนาคาร: ยอด $- 1200$ บาท คือเป็นหนี้ 1,200 บาท
- ความสูงจากระดับน้ำทะเล: $- 30$ เมตร คืออยู่ใต้ระดับน้ำทะเล 30 เมตร

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไมต้องมีจำนวนลบ? เพราะถ้ามีแต่จำนวนบวก คำถามอย่าง “ $3 - 8$ เท่ากับเท่าไร” จะ ไม่มีคำตอบ การเติมจำนวนลบเข้ามาทำให้การลบทำได้เสมอ ไม่ว่าตัวไหนลบตัวไหน

1.2 การเปรียบเทียบและเรียงลำดับ

กติกาเดียวที่ต้องจำคือ บนเส้นจำนวน ตัวที่อยู่ขวากว่าคือตัวที่มากกว่าเสมอ ไม่ว่าจะบวกหรือลบ

เส้นจำนวน

\dots - 4 < - 3 < - 2 < - 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 \dots

ยิ่งไปทางซ้าย ยิ่งน้อย · ยิ่งไปทางขวา ยิ่งมาก

จำนวนเต็มบวก มากกว่า ศูนย์เสมอ และมากกว่าจำนวนเต็มลบทุกตัว
จำนวนเต็มลบ น้อยกว่า ศูนย์เสมอ
●
เทียบจำนวนลบสองตัว — ตัวที่ดูใหญ่กว่าคือตัวที่น้อยกว่า
- $- 2 > - 7$ เพราะ $- 2$ อยู่ทางขวาของ $- 7$
- คิดเป็นหนี้ก็ได้: เป็นหนี้ 2 บาท ย่อมดีกว่าเป็นหนี้ 7 บาท

นิยาม

ค่าสัมบูรณ์ (Absolute value)

ระยะจากจำนวนนั้นถึงศูนย์บนเส้นจำนวน เขียนด้วยขีดสองข้าง เช่น $∣ - 7 ∣ = 7$ และ $∣ 7 ∣ = 7$ · ค่าสัมบูรณ์ไม่เคยติดลบ เพราะระยะทางติดลบไม่ได้

ตัวอย่าง

จงเรียง $- 3, 5, 0, - 8, 2$ จากน้อยไปมาก

วิธีทำ

1.แยกเป็นสองพวกก่อน: ลบคือ $- 3, - 8$ · ไม่ลบคือ $0, 2, 5$
2.พวกลบต้องมาก่อนเสมอ · ในพวกลบ ตัวที่ห่างศูนย์มากกว่าคือตัวที่น้อยกว่า จึงได้ $- 8 < - 3$
3.พวกไม่ลบเรียงตามปกติ: $0 < 2 < 5$

ตอบ $- 8, - 3, 0, 2, 5$

ข้อควรระวัง

กับดักที่พลาดกันมากที่สุดในบทนี้: เห็น $- 9$ กับ $- 4$ แล้วตอบว่า $- 9$ มากกว่า เพราะ “9 มากกว่า 4” · ตัวเลขหลังเครื่องหมายลบ ยิ่งใหญ่ยิ่งน้อย

1.3 การบวกจำนวนเต็ม

การบวกจำนวนเต็มมีแค่ 2 กรณี: เครื่องหมายเหมือนกัน กับเครื่องหมายต่างกัน จำ 2 กรณีนี้ได้ก็จบทั้งหัวข้อ

กรณีที่ 1 — เครื่องหมายเหมือนกัน

1เอาค่าสัมบูรณ์ (ตัวเลขที่ไม่คิดเครื่องหมาย) มา บวกกัน
2ใส่เครื่องหมายเดิมให้คำตอบ

(+ 5) + (+ 3) = + 8 (- 5) + (- 3) = - 8

ทั้งคู่ “ไปทางเดียวกัน” ระยะจึงรวมกัน

กรณีที่ 2 — เครื่องหมายต่างกัน

1เอาค่าสัมบูรณ์ตัวมาก ลบ ตัวน้อย
2ใส่เครื่องหมายของ ตัวที่ค่าสัมบูรณ์มากกว่า

(+ 9) + (- 4) = + 5 (- 9) + (+ 4) = - 5

“ดึงกันคนละทาง” ฝ่ายที่แรงกว่าเป็นผู้ชนะ และเหลือแรงเท่ากับผลต่าง

ตัวอย่าง 1

จงหาค่าของ $(- 12) + (+ 7)$

วิธีทำ

1.เครื่องหมายต่างกัน → ใช้กรณีที่ 2
2.ค่าสัมบูรณ์: $∣ - 12 ∣ = 12$ และ $∣ + 7 ∣ = 7$ · ตัวมากคือ 12
3.ลบกัน: $12 - 7 = 5$
4.ตัวที่ค่าสัมบูรณ์มากกว่าคือ $- 12$ ซึ่งเป็นลบ คำตอบจึงเป็นลบ

ตอบ $- 5$

ตัวอย่าง 2

อุณหภูมิตอนเช้า $- 6^{\circ} C$ ตอนบ่ายสูงขึ้น $10$ องศา ตอนบ่ายอุณหภูมิเท่าไร

วิธีทำ

1.“สูงขึ้น 10” คือบวกด้วย $+ 10$ จึงเขียนได้ว่า $(- 6) + (+ 10)$
2.เครื่องหมายต่างกัน: $10 - 6 = 4$
3.ตัวที่ค่าสัมบูรณ์มากกว่าคือ $+ 10$ คำตอบจึงเป็นบวก

ตอบ $4^{\circ} C$

1.4 การลบจำนวนเต็ม

ข่าวดีของหัวข้อนี้คือ ไม่มีกฎใหม่เลย เราแปลงการลบให้กลายเป็นการบวก แล้วใช้กฎ 1.3 ที่เพิ่งเรียนไป

กฎเดียวของการลบ

a - b = a + (- b)

“ลบด้วยอะไร = บวกด้วยตัวตรงข้ามของสิ่งนั้น”

นิยาม

จำนวนตรงข้าม (Additive inverse)

จำนวนที่บวกกับตัวมันแล้วได้ศูนย์ · ตัวตรงข้ามของ $7$ คือ $- 7$ และตัวตรงข้ามของ $- 7$ คือ $7$ เพราะ $7 + (- 7) = 0$

●
ขั้นตอนทำ 3 จังหวะ
- เปลี่ยนเครื่องหมายลบตรงกลางเป็นบวก
- พลิกเครื่องหมายของตัวหลัง
- ใช้กฎการบวกใน 1.3
●
ผลที่ตามมาที่ควรสังเกต
- $5 - 8 = 5 + (- 8) = - 3$ → ตัวน้อยลบตัวมากได้ และได้คำตอบติดลบ
- $5 - (- 8) = 5 + 8 = 13$ → ลบด้วยจำนวนลบ ทำให้ผลลัพธ์มากขึ้น

ตัวอย่าง 1

จงหาค่าของ $(- 4) - (- 11)$

วิธีทำ

1.เปลี่ยนลบเป็นบวก แล้วพลิกเครื่องหมายตัวหลัง: $(- 4) + (+ 11)$
2.เครื่องหมายต่างกัน: $11 - 4 = 7$
3.ตัวที่ค่าสัมบูรณ์มากกว่าคือ $+ 11$ คำตอบจึงเป็นบวก

ตอบ $7$

ตัวอย่าง 2

ยอดเงินในบัญชี $- 350$ บาท ถูกยกหนี้ไป $500$ บาท ยอดใหม่เท่าไร

วิธีทำ

1.“ยกหนี้ 500” คือเอาหนี้ 500 ออก จึงเขียนว่า $(- 350) - (- 500)$
2.แปลงเป็นบวก: $(- 350) + 500$
3. $500 - 350 = 150$ และตัวมากเป็นบวก

ตอบ $+ 150$ บาท (มีเงินเหลือ 150 บาท)

ข้อควรระวัง

อย่าจำแบบ “ลบลบเป็นบวก” ลอย ๆ เพราะมันใช้กับ การคูณ ก็ได้และใช้กับ เครื่องหมายสองตัวติดกัน ก็ได้ แล้วจะสับสน · จำเป็นประโยคเต็มว่า “ลบด้วยจำนวนลบ = บวกด้วยจำนวนบวก” จะไม่มีวันพลาด

1.5 การคูณและการหารจำนวนเต็ม

การคูณและการหารใช้กฎเครื่องหมายชุดเดียวกันเป๊ะ ๆ คิดตัวเลขก่อน แล้วค่อยตัดสินเครื่องหมายทีหลัง

ตัวหน้า	ตัวหลัง	ผลลัพธ์	ตัวอย่าง
บวก	บวก	บวก	$(+ 6) \times (+ 3) = + 18$
ลบ	ลบ	บวก	$(- 6) \times (- 3) = + 18$
บวก	ลบ	ลบ	$(+ 6) \times (- 3) = - 18$
ลบ	บวก	ลบ	$(- 6) \div (+ 3) = - 2$

กฎเครื่องหมาย (ใช้ได้ทั้งคูณและหาร)

●
วิธีจำที่ไม่ต้องท่องตาราง
- เครื่องหมายเหมือนกัน → บวก · เครื่องหมายต่างกัน → ลบ
- หรือนับจำนวนตัวลบ: ลบ จำนวนคู่ ตัว → ผลบวก · ลบ จำนวนคี่ ตัว → ผลลบ
●
ข้อควรระวังเรื่องศูนย์
- $0 \times a = 0$ เสมอ ไม่ว่า $a$ จะเป็นอะไร
- $0 \div a = 0$ เมื่อ $a \neq = 0$
- $a \div 0$ ไม่นิยาม — หารด้วยศูนย์ไม่ได้

ตัวอย่าง 1

จงหาค่าของ $(- 4) \times (+ 7) \times (- 2)$

วิธีทำ

1.คิดตัวเลขก่อน: $4 \times 7 \times 2 = 56$
2.นับตัวลบ: มี 2 ตัว ( $- 4$ และ $- 2$ ) เป็นจำนวนคู่
3.จำนวนคู่ → ผลลัพธ์เป็นบวก

ตอบ $+ 56$

ตัวอย่าง 2

จงหาค่าของ $(- 72) \div (+ 9)$

วิธีทำ

1.คิดตัวเลข: $72 \div 9 = 8$
2.เครื่องหมายต่างกัน → ผลลัพธ์เป็นลบ

ตอบ $- 8$

ทำไมถึงเป็นแบบนั้น

ทำไม ลบ × ลบ ถึงเป็นบวก? ลองดูแบบรูปนี้: $(- 3) \times 2 = - 6$ , $(- 3) \times 1 = - 3$ , $(- 3) \times 0 = 0$ · ทุกครั้งที่ตัวคูณลดลง 1 ผลลัพธ์ เพิ่มขึ้น 3 ถ้าเดินต่อไปอีกขั้น $(- 3) \times (- 1)$ ก็ต้องเป็น $+ 3$ ไม่มีทางเป็นอย่างอื่นถ้าแบบรูปจะยังคงเดิม

1.6 สมบัติของจำนวนเต็ม

สมบัติเหล่านี้ไม่ใช่ของท่องจำ แต่คือ ใบอนุญาต ที่บอกว่าเราสลับหรือจัดกลุ่มตัวเลขใหม่ได้โดยคำตอบไม่เปลี่ยน — ซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้คิดเลขเร็วขึ้นมาก

สมบัติ	การบวก	การคูณ
การสลับที่	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
การเปลี่ยนหมู่	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
การมีเอกลักษณ์	$a + 0 = a$	$a \times 1 = a$
การมีตัวผกผัน	$a + (- a) = 0$	— (จำนวนเต็มไม่มีในบททั่วไป)

สมบัติการแจกแจง

a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)

สมบัติเดียวที่เชื่อมการคูณกับการบวกเข้าด้วยกัน และเป็นตัวที่ใช้บ่อยที่สุดในพีชคณิต ม.ต้น

ตัวอย่าง 1

จงหาค่าของ $25 \times (- 4) \times (- 7)$ โดยใช้สมบัติให้คิดในใจได้

วิธีทำ

1.สมบัติการสลับที่และเปลี่ยนหมู่ ให้เราจับคู่ตัวไหนก่อนก็ได้
2.จับ $25 \times (- 4)$ ก่อน เพราะได้เลขกลม: $25 \times 4 = 100$ และเครื่องหมายต่างกัน → $- 100$
3.เหลือ $(- 100) \times (- 7)$ · $100 \times 7 = 700$ และเครื่องหมายเหมือนกัน → บวก

ตอบ $700$

ตัวอย่าง 2

จงหาค่าของ $(- 6) \times 98$ โดยใช้สมบัติการแจกแจง

วิธีทำ

1.เขียน $98 = 100 - 2$
2. $(- 6) \times (100 - 2) = (- 6) (100) + (- 6) (- 2)$
3. $= - 600 + 12$

ตอบ $- 588$

เคล็ดลับ

การลบไม่มีสมบัติการสลับที่ ลองดู: $5 - 3 = 2$ แต่ $3 - 5 = - 2$ ไม่เท่ากัน · การหารก็เช่นกัน $8 \div 2 \neq = 2 \div 8$ · สมบัติสลับที่และเปลี่ยนหมู่มีเฉพาะ บวกกับคูณ เท่านั้น

🎯 Key takeaways

จำนวนเต็ม = จำนวนเต็มลบ + ศูนย์ + จำนวนเต็มบวก · ศูนย์ไม่เป็นทั้งบวกและลบ
บนเส้นจำนวน ขวากว่า = มากกว่าเสมอ ดังนั้นจำนวนลบยิ่งตัวเลขใหญ่ยิ่งน้อย
การลบทุกครั้งแปลงเป็นการบวกได้: $a - b = a + (- b)$
กฎเครื่องหมายของคูณและหารเหมือนกัน: เหมือนกัน→บวก ต่างกัน→ลบ
สมบัติสลับที่/เปลี่ยนหมู่มีเฉพาะการบวกและการคูณ ไม่มีในการลบและการหาร

Read it — now practise it

Generate a worksheet on this topic, or sit a timed mock paper.

Build a worksheet Practice arena